1 . 2020年9月和12月，我国在联合国大会和气候雄心峰会上承诺，力争在2030年实现碳达峰，在2060年实现碳中和．2021年两会期间，“双碳”工作首次被写入政府工作报告，2020年底召开的中央经济工作会议中，“双碳”工作被列人2021年八大重点任务之一．构建两轮绿色生态链，最大限度降低碳排放；审慎评估和使用碳抵消方案，如购买碳信用产品，全民倡导绿色生活方式，减少碳排放量，从城镇市民到农村常居居民，全国上下一盘棋，倡导绿色消费．调研团队为考察居民对使用煤气和电能适应与否与年龄是否有关，从某行政村随机调查了200人，其中老年人占总人数的60%，且不适应使用煤气和电能的老年人占总人数的20%，中青年人不适应使用煤气和电能的人数占总人数的5%．
(1)请将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为“适应使用煤气和电能与否”与年龄有关？

	不适应使用煤气和电能	适应使用煤气和电能	合计
老年人
中青年人
合计			200

(2)从老年人中以“是否适应使用煤气和电能”为标准采用分层抽样的方法随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，若所选2名老年人中的“不适应使用煤气和电能”人数为X，求X的分布列及数学期望．
附：，其中．

	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

2 . 天文学家、数学家梅文鼎，为清代“历算第一名家”和“开山之祖”，在其著作《平三角举要》中给出了利用三角形的外接圆证明正弦定理的方法.如图所示，在梅文鼎证明正弦定理时的构图中，为锐角三角形外接圆的圆心.若，则（       ）
   

A．

B．

C．

D．

3 . 现安排A，B，C，D，E这5名同学参加校园文化艺术节，校园文化艺术节包含书法、唱歌、绘画、剪纸四个项目，每个项目至少有一人参加，每人只能参加一个项目，A不会剪纸但能胜任其他三个项目，剩下的人都能胜任这四个项目，则不同的安排方案有_______________种．

4 . 有甲、乙两个物体同时从A地沿着一条固定路线运动，甲物体的运动路程（千米）与时间t（时）的关系为，乙物体运动的路程（千米）与时间t（时）的关系为，当甲、乙再次相遇时，所用的时间t（时）属于区间（       ）

A．

B．

C．

D．

5 . 欧拉是18世纪最优秀的数学家之一，几乎每个数学领域都可以看到欧拉的名字，例如初等几何中的欧拉线、多面体中的欧拉定理、微分方程中的欧拉方程，以及数论中的欧拉函数等等．个数叫互质数）的正整数（包括1）的个数，记作．例如：小于或等于4的正整数中与4互质的正整数有1，3这两个，即．记为数列的前n项和，则（       ）

A．

B．

C．

D．

6 . 已知函数，．
(1)若函数在内有唯一零点，求a的取值范围．
(2)设函数的最大值、最小值分别为M，m，记．设，函数，当，时，恒成立，求的取值范围．

7 . 高尔顿板又称豆机、梅花机等，是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．如图所示的高尔顿板为一块木板自上而下钉着6层圆柱形小木块，最顶层有2个小木块，以下各层小木块的个数依次递增，各层小木块互相平行但相互错开，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块透明玻璃．让小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或者向右滚下，最后落入高尔顿板下方从左至右编号为1，2，…，6的球槽内．

   

(1)某商店将该高尔顿板改良成游戏机，针对某商品推出促销活动．凡是入店购买该商品一件，就可以获得一次游戏机会．若小球落入号球槽，该商品可立减元，其中．若该商品的成本价是10元，从期望的角度考虑，为保证该商品总体能盈利，求该商品的最低定价．（结果取整数）
(2)将79个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，试问3号球槽中落入多少个小球的概率最大？
附：设随机变量，则的分布列为，．
．

8 . 某商家为了促销某商品，制作了一些卡片，卡片共有3种不同的颜色，顾客每次消费满额都随机赠送1张某种颜色的卡片，集齐3张相同颜色的卡片即可兑换该商品一件．
(1)求某顾客消费满额4次后仍未集齐3张相同颜色的卡片的概率；
(2)设某顾客消费满额次后刚好集齐3张相同颜色的卡片，求的分布列及期望．

9 . 小明收集了五枚不同的铜钱，准备将其串成精美的挂件（如图），根据不同的排放顺序，不同的串法有（       ）
      

A．20种

B．25种

C．60种

D．120种

10 . 沈括是北宋一名卓越的科学家，出生于浙江钱塘，也就是如今的浙江杭州，他博学多才、善于观察，在天文、数学、地理、生物、医学、物理领域都有研究，在数学上开创了“隙积术”．如图，这是一底层为长方形的“堆垛”，堆垛每层长、宽的球的个数都比相邻下层少一个，其中，为底层长、宽的球的个数，为总层数．若，，则该堆垛球的总个数为________，若，，则该堆垛球的总个数为________．（用表示，参考公式：）