1 . 我们把满足下列条件的数列称为数列:
①数列的每一项都是正偶数;
②存在正奇数m,使得数列的每一项除以m所得的商都不是正偶数.
(1)若a,b,c是公差为2的等差数列,求证:a,b,c不是数列;
(2)若数列满足对任意正整数p,q,恒有,且,判断数列是否是数列,并证明你的结论;
(3)已知各项均为正数的数列共有100项,且对任意,恒有,若数列为数列,求满足条件的所有两位数k值的和.
①数列的每一项都是正偶数;
②存在正奇数m,使得数列的每一项除以m所得的商都不是正偶数.
(1)若a,b,c是公差为2的等差数列,求证:a,b,c不是数列;
(2)若数列满足对任意正整数p,q,恒有,且,判断数列是否是数列,并证明你的结论;
(3)已知各项均为正数的数列共有100项,且对任意,恒有,若数列为数列,求满足条件的所有两位数k值的和.
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2024高三·全国·专题练习
解题方法
2 . 在等式()的两边求导,得:,由求导法则,得,化简得等式:.
(1)利用上题的想法(或其他方法),结合等式 (,正整数),证明:.
(2)对于正整数,求证:
(i);
(ii);
(1)利用上题的想法(或其他方法),结合等式 (,正整数),证明:.
(2)对于正整数,求证:
(i);
(ii);
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名校
3 . 小南在学习矩形的判定之后,想继续研究判定一个平行四边形是矩形的方法,他的想法是作平行四边形两相邻内角的角平分线,与两内角公共边的对边相交,如果这相邻内角的顶点到对应交点的距离相等,则可论证该平行四边形是矩形.
(1)用直尺和圆规,作射线平分交于点;
(2)已知:如图,在平行四边形中,平分交于点平分交于点,且.求证:平行四边形是矩形.
四边形为平行四边形,
__________①,
,
__________②,
,
,
在和中
__________③.
平行四边形是矩形.
小南再进一步研究发现,若这组邻角的角平分线与公共边的对边延长线相交,结论仍然成立.因此,小南得出结论:作平行四边形两相邻内角的角平分线,与两内角公共边的对边(或对边延长线)相交,若这相邻内角的顶点到对应交点的距离相等,则_ _________④.
(1)用直尺和圆规,作射线平分交于点;
(2)已知:如图,在平行四边形中,平分交于点平分交于点,且.求证:平行四边形是矩形.
证明:分别平分,
四边形为平行四边形,
__________①,
,
__________②,
,
,
在和中
__________③.
平行四边形是矩形.
小南再进一步研究发现,若这组邻角的角平分线与公共边的对边延长线相交,结论仍然成立.因此,小南得出结论:作平行四边形两相邻内角的角平分线,与两内角公共边的对边(或对边延长线)相交,若这相邻内角的顶点到对应交点的距离相等,则_ _________④.
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4 . 在微积分中,泰勒展开是一种常用的分析方法.若在包含的某个开区间中具有阶导数,设表示的阶导数.则对有.其中,是位于与之间的某个值,它称为阶泰勒余项.叫做在处的阶泰勒多项式.
(1)求在处的1阶泰勒多项式和2阶泰勒多项式,并证明:当时,;
(2)整数.定义数列.设e为自然对数的底数.
(i)求证:;
(ii)求证:.
(1)求在处的1阶泰勒多项式和2阶泰勒多项式,并证明:当时,;
(2)整数.定义数列.设e为自然对数的底数.
(i)求证:;
(ii)求证:.
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5 . 如图,点为抛物线外任意一点,过点作抛物线两条切线分别切于两点,的中点为,直线交抛物线于点.(1)证明:(为直线在轴上的截距),且直线方程为;
(2)设点处的切线,求证.
(2)设点处的切线,求证.
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解题方法
6 . 如图,在直三棱柱中,,,D是的中点,F是上一点,且.(1)求证:平面;
(2)若,判定直线与平面的位置关系,并证明.
(2)若,判定直线与平面的位置关系,并证明.
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7 . 已知函数,其中,.
(1)求证:对任意的u、v,都有成立;
(2)写出一个关于类似上式的等式,并证明你的结论;
(3)求关于y轴对称的函数,并说明的单调性.
(1)求证:对任意的u、v,都有成立;
(2)写出一个关于类似上式的等式,并证明你的结论;
(3)求关于y轴对称的函数,并说明的单调性.
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解题方法
8 . 已知集合是满足下列性质的函数的全体:存在非零常数,对任意,有成立.
(1)函数,其中,判断是否属于集合?说明理由;
(2)设函数,其中(且),若函数的图像与的图像有公共点,证明:.
(3)求证函数(且)不属于集合.
(1)函数,其中,判断是否属于集合?说明理由;
(2)设函数,其中(且),若函数的图像与的图像有公共点,证明:.
(3)求证函数(且)不属于集合.
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9 . (1)观察:、、、、……叙述其中的一般规律,并加以证明.
(2)求证:对于任何、,存在,,使得.
(2)求证:对于任何、,存在,,使得.
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10 . 如图,在四棱锥中,底面为菱形,,侧面为等边三角形.
(2)若为边上的中点,能否在棱上找到一点,使平面平面?并证明你的结论.
(1)求证:;
(2)若为边上的中点,能否在棱上找到一点,使平面平面?并证明你的结论.
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