1 . 差分法的定义：若数列的前项和为，且，则时，．例如：已知数列的通项公式是，前项和为，因为，所以．
(1)若数列的通项公式是，求的前项和；
(2)若，且数列的前项和分别为，证明：．

2 . 曲率是曲线的重要性质，表征了曲线的“弯曲程度”，曲线曲率解释为曲线某点切线方向对弧长的转动率，设曲线具有连续转动的切线，在点处的曲率，其中为的导函数，为的导函数，已知．
(1)时，求在极值点处的曲率；
(2)时，是否存在极值点，如存在，求出其极值点处的曲率；
(3)，，当，曲率均为0时，自变量最小值分别为，，求证：．

3 . 如图1，等腰满足，，于．如图2，将绕着直线SA旋转时，在BA旋转而成的平面内总有点满足，，（点，点分别在直线BD两侧）．

(1)求线段长；
(2)求证：平面；
(3)记三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，当四棱锥的体积最大时，求值．

4 . 已知矩形ABCD中，，，分别为中点，为对角线交点，如图1所示．现将和剪去，并将剩下的部分按如下方式折叠：沿将，折叠，并使与重合，与重合，连接，得到由平面，，，围成的无盖几何体，如图2所示．
   
(1)求证：平面；
(2)若为棱上动点，求的最小值；
(3)求此多面体体积的最大值．

5 . 已知点为线段上的点，点为所在平面内任意一点，，，，，设，．

(1)求证：，并求出的值；
(2)若，求的面积．

6 . 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，也是在勾股定理的基础上，增加了角度要素而成.而对三角形的边赋予方向，这些边就成了向量，向量与三角形的知识有着高度的结合.已知，，分别为内角，，的对边：
(1)请用向量方法证明余弦定理；
(2)若，其中为边上的中线，求的长度.

7 . 已知：直四棱柱所有棱长均为2，.在该棱柱内放置一个球，设球的体积为，直四棱柱去掉球剩余部分的体积为.

(1)求三棱锥的的表面积；
(2)求的最大值.（只要求写出必要的计算过程，不要求证明）

8 . 已知圆锥曲线上的点的坐标满足．
（1）说明是什么图形，并写出其标准方程；
（2）若斜率为1的直线与交于轴右侧不同的两点，，点为．
①求直线在轴上的截距的取值范围；
②求证：的平分线总垂直于轴．

9 . 已知函数．
(1)判断函数在其定义域上的单调性（不需要证明）﹔
(2)对任意的，都有，若存在的两个取值，使得为常数），求的值．

10 . 甲乙两队各有2位队员共4人进行“定点投篮”比赛，规定在一轮比赛中，每人投篮一次，投中一球得2分，没有投中得0分.现已知甲队两位队员每次投篮投中的概率均为.乙队两位队员每次投篮投中的概率分别为.
(1)若，分别计算甲乙两队在一轮比赛中得2分的概率，并根据这两个数据说明哪个队在一轮比赛中得到2分的可能性大？
(2)某同学发现：若，则甲乙两队在一轮比赛中得分的期望值就相等；他根据这一发现又得出结论：若，则在一轮比赛中，按两队的均分决定胜负，这两队一定是平局；记在一轮比赛中甲队得分为，乙队得分为，请你写出甲乙两队得分的分布列，对该同学的发现的正确性给予证明，并简要说明该同学得出的结论是否正确.