名校
1 . 以下说法正确的是( )
A.![]() ![]() ![]() ![]() |
B.若夹在两个平面间的三条平行线段长度相等,则这两个平面平行 |
C.平面![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
D.空间中![]() |
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名校
2 . 由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体,围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.对于凸多面体,有著名的欧拉公式:
,其中
为顶点数,
为棱数,
为面数.我们可以通过欧拉公式计算立体图形的顶点、棱、面之间的一些数量关系.例如,每个面都是四边形的凸六面体,我们可以确定它的顶点数和棱数.一方面,每个面有4条边,六个面相加共24条边;另一方面,每条棱出现在两个相邻的面中,因此每条棱恰好被计算了两次,即共有12条棱;再根据欧拉公式,
,可以得到顶点数
.
(1)已知足球是凸三十二面体,每个面均为正五边形或者正六边形,每个顶点与三条棱相邻,试确定足球的棱数;
(2)证明:
个顶点的凸多面体,至多有
条棱;
(3)已知正多面体的各个表面均为全等的正多边形,且与每个顶点相邻的棱数均相同.试利用欧拉公式,讨论正多面体棱数的所有可能值.
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(1)已知足球是凸三十二面体,每个面均为正五边形或者正六边形,每个顶点与三条棱相邻,试确定足球的棱数;
(2)证明:
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(3)已知正多面体的各个表面均为全等的正多边形,且与每个顶点相邻的棱数均相同.试利用欧拉公式,讨论正多面体棱数的所有可能值.
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3 . (1)若
,
求
;
(2)若
,
为单位向量,
,
的夹角为
,求
和函数
,
的最小值;
(3)请在以下三个结论中任选一个用向量方法 证明.
①直径所对的圆周角是直角;②平行四边形的对角线的平方和等于其四边长的平方和;③三角形的三条中线交于一点.
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(2)若
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(3)请在以下三个结论中任选一个用
①直径所对的圆周角是直角;②平行四边形的对角线的平方和等于其四边长的平方和;③三角形的三条中线交于一点.
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4 . 凸多面体的顶点数V,面数F,棱数E之间有很多有趣的性质.例如三棱锥的每个顶点处有3条棱,每条棱与2个顶点连接,故
;三棱锥每个面有3条棱,相邻两个面之间有一条公共棱,故
;凸多面体的欧拉公式:
等等.各个面都是全等的正多边形的凸几何体叫做正多面体.例如,四个面都是正三角形的三棱锥是正四面体,六个面都是正方形的四棱柱是正方体.由正多面体每个面的中心构成的几何体显然也是正多面体,把二者称为对偶正多面体.例如由正四面体四个面的中心构成正四面体,所以正四面体的对偶是本身.试根据以上信息解决以下问题.
(1)若正四面体和正方体的表面积相等,试比较二者体积的大小;
(2)足球表面是由12个正五边形和20个正六边形构成,求足球的棱数和顶点数.
(3)试求正多面体的个数,并证明;
(4)若所有正多面体的表面积都相等,求体积最大的正多面体是正多少面体?(给出结论即可).
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(1)若正四面体和正方体的表面积相等,试比较二者体积的大小;
(2)足球表面是由12个正五边形和20个正六边形构成,求足球的棱数和顶点数.
(3)试求正多面体的个数,并证明;
(4)若所有正多面体的表面积都相等,求体积最大的正多面体是正多少面体?(给出结论即可).
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5 . 记由0,1,2,3,4五个数字组成的五位数为
.则满足“对任意
,必存在
,使
”的五位数的个数为( )
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A.120 | B.160 | C.164 | D.172 |
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6 . 降雨量是指从天空降落到地面上的雨水,未经蒸发、渗透、流失而在水平面上积聚的水层深度,一般以毫米为单位,它可以直观地表示降雨的多少,目前,测定降雨量常用的仪器有雨量筒和量杯.测量时,将雨量筒中的雨水倒在量杯中,根据杯上的刻度就可知道当天的降雨量.某兴趣小组同学为测量降水量,自制了一种圆台形的雨量器(如图).某次降水,这种容器收集到的雨水高度为150mm,则该次降水的降雨量最接近( )
A.60mm | B.65mm | C.70mm | D.75mm |
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名校
7 . 已知某
的直角三角板斜边长
,动点P到直角顶点距离始终为
,记P到三角板斜边两个端点距离分别为
,则
范围为____________ (单位平方厘米).
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名校
8 . 已知函数
的定义域均为
,给出下面两个定义:
①若存在唯一的
,使得
,则称
与
关于
唯一交换;
②若对任意的
,均有
,则称
与
关于
任意交换.
(1)请判断函数
与
关于
是唯一交换还是任意交换,并说明理由;
(2)设
,若存在函数
,使得
与
关于
任意交换,求b的值;
(3)在(2)的条件下,若
与
关于
唯一交换,求a的值.
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①若存在唯一的
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c21349867ead1c5d88dc7a618e073dfa.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/be1ce3f01e2b6364f9a9fdaf197d5e29.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0eb7df298a9364b36e079a61caec815c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4fe7d5809da02c15a43a0e9a898b9086.png)
②若对任意的
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/24a57996290794e082b21d8f1dfc322a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c21349867ead1c5d88dc7a618e073dfa.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/be1ce3f01e2b6364f9a9fdaf197d5e29.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0eb7df298a9364b36e079a61caec815c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4fe7d5809da02c15a43a0e9a898b9086.png)
(1)请判断函数
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c89a5f35cd4e4764d285fce93350443b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/318a16f1950d06e5500c76d8f81a507f.png)
(2)设
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/00b0e163359b6ed8f05a408790e719fe.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0eb7df298a9364b36e079a61caec815c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/be1ce3f01e2b6364f9a9fdaf197d5e29.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0eb7df298a9364b36e079a61caec815c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4fe7d5809da02c15a43a0e9a898b9086.png)
(3)在(2)的条件下,若
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2024-01-17更新
|
631次组卷
|
5卷引用:浙江省杭州外国语学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷
名校
解题方法
9 . 小明同学某天发现,在阳光下的照射下,篮球在地面留下的影子如图所示,设过篮球的中心
且与太阳平行光线垂直的平面为
,地面所在平面为
,篮球与地面的切点为
,球心为
,球心
在地面的影子为点
;已知太阳光线与地面的夹角为
;
(1)求平面
与平面
所成角
(用
表示);
(2)如图,
为球
的一条直径,
为
在地面的影子,点
在线段
上,小明经过研究资料发现,当
时,篮球的影子为一椭圆,且点
为椭圆的焦点,线段
为椭圆的长轴,求此时该椭圆的离心率(用
表示).
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5b5858ee1ce52b251816757257a11c29.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/12fe32dfbd66709875c5b9f79c9496da.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c24095e409b025db711f14be783a406c.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/11/23/b9fe09cf-3e20-4cbc-a31d-aa10d41cf688.png?resizew=169)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/11/23/66a61df9-8468-4831-9f9c-9b2891cf417f.png?resizew=168)
(1)求平面
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5b5858ee1ce52b251816757257a11c29.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6581916f5a65edfea257c804efee007e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c24095e409b025db711f14be783a406c.png)
(2)如图,
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f52a58fbaf4fea03567e88a9f0f6e37e.png)
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10 . 定义1:通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族(collection).
定义2:集合
上的一个拓扑(topology)乃是
的子集为元素的一个族
,它满足以下条件:(1)
和
在
中;(2)
的任意子集的元素的并在
中;(3)
的任意有限子集的元素的交在
中.
(1)族
,族
,判断族
与族
是否为集合
的拓扑;
(2)设有限集
为全集
(i)证明:
;
(ii)族
为集合
上的一个拓扑,证明:由族
所有元素的补集构成的族
为集合
上的一个拓扑.
定义2:集合
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(1)族
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(2)设有限集
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(i)证明:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/63a75d83dc31194727f441b79eee9cfc.png)
(ii)族
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