1 . 函数的性质通常指函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、零点等．已知

(1)研究并证明函数的性质；
(2)根据函数的性质，画出函数的大致图象．

2 . 已知某产品在过去的32天内的日销售量（单位：万件）与第天之间的函数关系为①；②这两种函数模型中的一个，且部分数据如下表：

（天）	2	4	10	20
（万件）	12	11	10.4	10.2

(1)请确定的解析式，并说明理由；
(2)若第天的每件产品的销售价格均为（单位：元），且，求该产品在过去32天内的第天的销售额（单位：万元）的解析式及的最小值.

3 . 下表是我国1964年到1971年期间的人口数及增长情况：

年份	人口数（单位：亿）	增长量（单位：亿）	增长率
1964	7.05	-	-
1965	7.25	0.20	0.028
1966	7.45	0.20	0.028
1967	7.64	0.19	0.026
1968	7.85	0.21	0.027
1969	8.08	0.23	0.029
1970	8.30	0.22	0.027
1971	8.52	0.22	0.027

(1)根据上表，假设以1964年为起点，以1964年到1971年的人口平均增长率作为恒定增长率，记为经过时间年后的人口数，请你建立我国的人口增长模型（即：人口数与时间之间的关系）；
(2)对照你所建立的模型和马尔萨斯的人口指数增长模型：，指出其中的值；
(3)如果按照以上模型和数据，预测2025年我国的人口数（保留两位小数），并根据预测的数据，谈谈你对前面模型的理解或者有什么需要改进的方面.
（参考数据：；）

4 . 某企业生产的一款新产品，在市场上经过一段时间的销售后，得到销售单价x（单位：元）与销量Q（单位：万件）的数据如下：

元	1	2	3	4
万件	3	2	1.5	1.2

为了描述销售单价与销量的关系，现有以下三种模型供选择：．
(1)选择你认为最合适的一种函数模型，并求出相应的函数解析式；
(2)已知每生产一件该产品，需要的成本（单位：元）与销量Q（单位：万件）的关系为，不考虑其他因素，结合（1）中所选的函数模型，若要使生产的产品可以获得利润，问该产品的销售单价应该高于多少元？

5 . 已知函数的定义域为，，，且在区间上单调递减．
(1)求证：；
(2)求的值；
(3)当时，求不等式的解集．

6 . 交通运输部数据显示，2023年中秋国庆假期（9月29日至10月6日）期间，营业性旅客运输人数累计4.58亿人次.游客旅游热情高涨，全国各类景区景点非常火爆.据统计，某景区平时日均接纳旅客1万人次，门票是120元/人，中秋国庆期间日均接客量是平时的4倍.为进一步提升中秋国庆期间的旅游门票营业额，该景区作了深度的市场调查，发现当门票每便宜10元时，旅游日均人数可增加m万人（便宜幅度是10元一档，但优惠后的最终门票价格不低于80元）．
(1)当时，要使该景区降价后的门票日均营业额不低于495万元，则该景区可以如何确定门票价格？
(2)当m在区间上变化时，总能使得门票日均营业额不低于520万元，则该景区应如何确定门票价格？

7 . 某景区为吸引游客，拟在景区门口的三条小路之间划分两片三角形区域用来种植花卉（如图中阴影部分所示），已知，三点在同直线上，.

   

(1)若，求的长度；
(2)求面积的最小值.

8 . 近年来城市交通拥堵严重，某市区内主要街道经常出现堵车现象.电动自行车由于其体型小、灵活性强、易操作、成为市民出行的常用交通工具.据观测，出行高峰时段某路段内的电动自行车流量Q（千辆/小时）与电动自行车的平均速度v（千米/小时）（注：国家规定电动自行车最大设计时速为25千米/小时）具有以下函数关系：
.
(1)欲使电动自行车流量不少于10千辆/小时，求的取值范围；
(2)当电动自行车流量最大时，求的值并估计最大流量（精确到0.1）.

9 . 如图，已知二次函数的图象与直线交于x轴上一点，二次函数图象的顶点为.

(1)求这个二次函数的解析式；
(2)若二次函数的图象与x轴交于另一点B，与直线交于另一点D，求的面积.

10 . 某厂家生产某类产品进行销售，已知该厂家的该类产品年销量（单位：万件）与年广告宣传费用（单位：万元）之间满足关系式，生产该类产品每年的固定投入费用为8万元，每年政府的专项补贴为万元，每件产品的生产费用为64元.已知该厂家销售的该类产品的产品单价每件产品的生产费用平均每件产品的广告宣传费用，且该厂家以此单价将其生产的该类产品全部售出.
(1)请写出该类产品的年度总利润（单位：万元）与年广告宣传费用（单位：万元）之间的函数关系式.（注：年度总利润年销售总收入+年度政府的专项补贴-总成本，总成本固定投入费用+生产总费用+年广告宣传费用）
(2)试问该厂家应投入多少万元的广告宣传费用，才能使该类产品的年度总利润最大？并求出最大年度总利润.