1 . 抛物线的焦点为，准线为，斜率分别为的直线均过点，且分别与交于和（其中在第一象限），分别为的中点，直线与交于点，的角平分线与交于点.
(1)求直线的斜率（用表示）；
(2)证明：的面积大于.

2 . 定义：若对于任意，数列满足：①；②，其中的定义域为，则称关于满足性质.
(1)请写出一个定义域为的函数，使得关于满足性质；
(2)设，若关于满足性质，证明：；
(3)设，若关于满足性质，求数列的前项和.

3 . 混沌现象普遍存在于自然界和数学模型中，假设在一个混沌系统中，用来表示系统在第个时刻的状态值，且该系统下一时刻的状态值满足，已知初始状态值，其中，这样每一时刻的状态值构成数列.
(1)若数列为等比数列，求实数的取值范围；
(2)若，证明：
①；
②.

4 . 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点点，的中线与轴交于点且圆经过三点．

(1)求圆心的坐标：
(2)若直线与圆相切于点交轴于点求直线的函数表达式：
(3)在过点且以圆心为顶点的抛物线上有一动点过点作轴，交直线于点．若以为半径的圆与直线相交于另一点．当时，求点的坐标．

5 .

阅读材料：直线（）上任意两点，，，线段MN的中点，P点坐标及k可用公式：，；计算.例如：直线上两点，，则，，即线段MN的中点，.

已知抛物线（），根据以上材料解答下列问题：

   

(1)若该抛物线经过点，求m的值；
(2)在（1）的条件下，B，C为该抛物线上两点，线段BC的中点为D，若点，求直线BC的表达式；以下是解决问题的一种思路，仅供大家参考：设直线BC的表达式为：，，则有①，②.①-②得：，两边同除以，得……；
(3)该抛物线上两点E，F，直线EF的表达式为：（）.
(ⅰ).请说明线段EF的中点在一条定直线上；
(ⅱ).将ⅰ中的定直线绕原点O顺时针旋转45°得到直线，当时，该抛物线与只有一个交点，求m的取值范围.

6 . 某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：.根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值服从正态分布，并把质量指标值不小于80的产品称为等品，其它产品称为等品. 现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.

   

(1)根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差的近似值为11，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值. 若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)；
(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量服从正态分布，则，. )
(2)（i）从样本的质量指标值在和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为，求的分布列和数学期望；
（ii）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装. 已知一件等品芯片的利润是元，一件等品芯片的利润是元，根据(1)的计算结果，试求的值，使得每箱产品的利润最大.

7 . 给定正整数，设集合，对于集合M中的任意元素，定义，．
(1)当时，若，求所有满足条件的；
(2)当时，均为M中的元素，且，求k的最大值；
(3)当时，若均为M中的元素，其中，且满足，求k的最小值．

8 . 定义：给定一个正整数m，把它叫做模．如果用m去除任意的两个整数a与b所得的余数相同，我们就说a，b对模m同余，记作．如果余数不同，我们就说a，b对模m不同余，记作．
设集合．
(1)求；
(2)①将集合A中的元素按从小到大顺序排列后构成数列，并构造，
②将集合B中的元素按从小到大顺序排列后构成数列，并构．
请从①②中选择一个，若选择_____．
证明：数列单调递增，且有界（即存在实数M，使得数列中所有的项都不超过M）．
注：若①②都作答，按第一个计分．

9 . 已知抛物线.过抛物线焦点F作直线分别在第一、四象限交于两点，过原点O作直线与抛物线的准线交于E点，设两直线交点为S.若当点P的纵坐标为时，.
(1)求抛物线的方程.
(2)若平行于x轴，证明：S在抛物线C上.
(3)在（2）的条件下，记的重心为R，延长交于Q，直线交抛物线于（T在右侧），设中点为G，求与面积之比n的取值范围.

10 . 如图，已知是的外心，，，，，．

(1)判断的形状，且求时的值；
(2)当时，
①求的值（用含的式子表示）；
②若，求集合中的最小元素．