1 . 已知函数
.
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)若函数存在正零点
，
（i）求
的取值范围；
（ii）记
为的极值点，证明：
.
.(1)当
时，求的单调区间；(2)若函数
存在正零点，（i）求
的取值范围；（ii）记
为的极值点，证明：.
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2 . 已知函数
．
(1)当
时，求
的单调区间与极值；
(2)当
时，设
，若
既有极大值又有极小值，求的取值范围．
．(1)当
时，求的单调区间与极值；(2)当
时，设，若既有极大值又有极小值，求的取值范围．
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3 . 设集合
为非空实数集，集合
，且
，称集合
为集合的积集．
(1)当
时，写出集合的积集；
(2)若是由5个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值；
(3)判断是否存在4个正实数构成的集合，使其积集
，并说明理由．
为非空实数集，集合，且，称集合为集合的积集．(1)当
时，写出集合的积集；(2)若
是由5个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值；(3)判断是否存在4个正实数构成的集合
，使其积集，并说明理由．
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名校
解题方法
4 . 已知 
为抛物线 
的焦点， 过点 
的直线 
与抛物线 
交于 
两点， 抛物线 在 两点处的切线交于点 
.
(1)设
是抛物线 上一点， 证明: 抛物线 在点 
处的切线方程为 
， 并利用切线方程求点 的纵坐标的值;
(2)点
为抛物线 上异于 的点， 过点 作抛物线 的切线， 分别与线段 
交于 
.
(i)若
，求 
的值；
(ii)证明:
为抛物线 的焦点， 过点 的直线 与抛物线 交于 两点， 抛物线 在 两点处的切线交于点 .(1)设
是抛物线 上一点， 证明: 抛物线 在点 处的切线方程为 ， 并利用切线方程求点 的纵坐标的值;(2)点
为抛物线 上异于 的点， 过点 作抛物线 的切线， 分别与线段 交于 .(i)若
，求 的值；(ii)证明:
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解题方法
5 . 在平面直角坐标系
中，抛物线
的焦点到准线的距离等于椭圆
的短轴长，点在抛物线
上，圆
（其中
）.
(1)若
为圆上的动点，求线段
长度的最小值；
(2)设
是抛物线上位于第一象限的一点，过
作圆的两条切线，分别交抛物线于点
.证明：直线
经过定点.
中，抛物线的焦点到准线的距离等于椭圆的短轴长，点在抛物线上，圆（其中）.(1)若
为圆上的动点，求线段长度的最小值；(2)设
是抛物线上位于第一象限的一点，过作圆的两条切线，分别交抛物线于点.证明：直线经过定点.
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名校
6 . 已知函数
，其中
为自然对数的底数．
(1)当
时，求的单调区间；
(2)若方程
有两个不同的根
．
（i）求的取值范围；
（ii）证明：
．
，其中为自然对数的底数．(1)当
时，求的单调区间；(2)若方程
有两个不同的根．（i）求
的取值范围；（ii）证明：
．
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2024-09-10更新
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687次组卷
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2卷引用：四川省成都市石室成飞中学2025届高三上学期8月月考数学试卷
名校
7 . 若存在常数 
，使得对定义域 内的任意 
，都有
成立，则称函数 
在其定义域 上是 " 
-利普希兹条件函数".
(1)判断函数
是否是区间 
上的" 1 -利普希兹条件函数"？并说明理由；
(2)已知函数
是区间 
上的"3-利普希兹条件函数"， 求实数 的取值范围;
(3)若函数 为连续函数，其导函数为 
，若 
，其中 
， 且 
. 定义数列 
， 证明: 
.
，使得对定义域 内的任意 ，都有 成立，则称函数 在其定义域 上是 " -利普希兹条件函数".(1)判断函数
是否是区间 上的" 1 -利普希兹条件函数"？并说明理由；(2)已知函数
是区间 上的"3-利普希兹条件函数"， 求实数 的取值范围;(3)若函数
为连续函数，其导函数为 ，若 ，其中 ， 且 . 定义数列 ， 证明: .
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名校
8 . 已知：如图所示，点
是
上一点，
与相交于
两点，
，垂足为，分别交、于
两点，延长
交于，交
延长线于，
交
于
，连接．
(1)求证：
；
(2)若
，求证：
；
(3)若
，且线段
的长是关于
的方程
的两个实数根，求的长．
是上一点，与相交于两点，，垂足为，分别交、于两点，延长交于，交延长线于，交于，连接． (1)求证：
；(2)若
，求证：；(3)若
，且线段的长是关于的方程的两个实数根，求的长．
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名校
9 . 已知点是抛物线
上任意一点，则在点P处的切线方程为
．若A，B是抛物线
上的两个动点，且使得在点A与点B处的两条切线相互垂直．
(1)当
时，设这两条切线交于点Q，求点Q的轨迹方程；
(2)（ⅰ）求证：由点A，B及抛物线
的顶点所成三角形的重心的轨迹为一抛物线；
（ⅱ）对再重复上述过程，又得一抛物线
，以此类推，设得到的抛物线序列为，，
，…，
，试求的方程．
是抛物线上任意一点，则在点P处的切线方程为．若A，B是抛物线上的两个动点，且使得在点A与点B处的两条切线相互垂直．(1)当
时，设这两条切线交于点Q，求点Q的轨迹方程；(2)（ⅰ）求证：由点A，B及抛物线
的顶点所成三角形的重心的轨迹为一抛物线；（ⅱ）对
再重复上述过程，又得一抛物线，以此类推，设得到的抛物线序列为，，，…，，试求的方程．
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10 . 对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为
；若n为奇数，则对
不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为.若
，则称正整数n为“理想数”.
(1)求20以内的质数“理想数”；
(2)已知
.求m的值；
(3)将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列
，记的前n项和为
，证明：
.
；若n为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为.若，则称正整数n为“理想数”.(1)求20以内的质数“理想数”；
(2)已知
.求m的值；(3)将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列
，记的前n项和为，证明：.
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2024-08-10更新
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612次组卷
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3卷引用：广东省六校2025届高三八月第一次联考数学试题
