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1 . 利用反证法，是正面难以进行对真命题进行简单证明的迂回策略，请利用它证明我们初中所学的真命题
(1)求证：
是无理数
(2)①求证：三角形的内角和为180°
②求证：三角形至少有一个内角大于等于60°
(1)求证：
是无理数(2)①求证：三角形的内角和为180°
②求证：三角形至少有一个内角大于等于60°
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2 . 若数列
满足
，则称该数列为边界为1的数列.对于边界为1的有穷数列，从该数列中任意去掉两项
，同时添加
作为该数列的末项，可以得到一个项数为
项的新数列，称此过程为对数列实施一次“降维”.规定这种“降维”只能实施于边界为1的数列.如果数列经过若干次“降维”后成为只有一项的数列，即得到一个实数，则称该实数为数列的一个“坍缩数”.
(1)设数列的递推公式为
，我们知道：当
取不同的值时，可以得到不同的数列，若取某实数时，该数列是一个只有3项的有穷数列，求该数列的所有可能的“坍缩数”.
(2)试证明：对于任意一个边界为1的有穷数列，都可以对其持续进行“降维”，直至得到该数列的一个“坍缩数”.
(3)若数列的共有
项，其通项公式为
，求证：当为偶数时，数列的“坍缩数”一定为正；当为奇数时，数列的“坍缩数”一定为负.
满足，则称该数列为边界为1的数列.对于边界为1的有穷数列，从该数列中任意去掉两项，同时添加作为该数列的末项，可以得到一个项数为项的新数列，称此过程为对数列实施一次“降维”.规定这种“降维”只能实施于边界为1的数列.如果数列经过若干次“降维”后成为只有一项的数列，即得到一个实数，则称该实数为数列的一个“坍缩数”.(1)设数列
的递推公式为，我们知道：当取不同的值时，可以得到不同的数列，若取某实数时，该数列是一个只有3项的有穷数列，求该数列的所有可能的“坍缩数”.(2)试证明：对于任意一个边界为1的有穷数列
，都可以对其持续进行“降维”，直至得到该数列的一个“坍缩数”.(3)若数列
的共有项，其通项公式为，求证：当为偶数时，数列的“坍缩数”一定为正；当为奇数时，数列的“坍缩数”一定为负.
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解题方法
3 . 已知正整数
为常数，且
，无穷数列
的各项均为正整数，其前项和为
，且对任意正整数，
恒成立.
(1)证明无穷数列为等比数列，并求
；
(2)若
，
，求证：
；
(3)当
时，数列中任意不同两项的和构成集合A.设集合
，
中元素的个数记为
，求数列
的通项公式.
为常数，且，无穷数列的各项均为正整数，其前项和为，且对任意正整数，恒成立.(1)证明无穷数列
为等比数列，并求；(2)若
，，求证：；(3)当
时，数列中任意不同两项的和构成集合A.设集合，中元素的个数记为，求数列的通项公式.
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解题方法
4 . 如果数列
的任意相邻三项
，
，
满足
，则称该数列为“凸数列”．
(1)已知是正项等比数列，
是等差数列，且
，
，
．记
．
①求数列的前项和；
②判断数列是不是“凸数列”，并证明你的结论；
(2)设项正数数列
是“凸数列”，求证：
，
，
的任意相邻三项，，满足，则称该数列为“凸数列”．(1)已知
是正项等比数列，是等差数列，且，，．记．①求数列
的前项和；②判断数列
是不是“凸数列”，并证明你的结论；(2)设
项正数数列是“凸数列”，求证：，，
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5 . 已知 
(1)比较
， x的大小， 并证明;
(2)求证：
(1)比较
， x的大小， 并证明;(2)求证：
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解题方法
6 . 如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N，K分别为AB，PC，PA的中点，平面
平面
．
(2)求证：
平面PAD；
(3)直线PB上是否存在点H，使得平面
平面ABCD?若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．
平面．
(2)求证：
平面PAD；(3)直线PB上是否存在点H，使得平面
平面ABCD?若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．
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7 . 已知实数R的子集
均满足规律：
，已知数集
具有性质P：对任意的
，
与
两数中至少有一个属于A（如
与
中至少有一个属于A）.
(1)求证：集合
不可能为单元素集；
(2)分别判断数集
与
是否具有性质P，并说明理由；
(3)数集A中的_____集合
（选填“
”或“
”），请写出一个自然数：________，使其不可能属于集合；
(4)证明：
.
均满足规律：，已知数集具有性质P：对任意的，与 两数中至少有一个属于A（如与中至少有一个属于A）.(1)求证：集合
不可能为单元素集；(2)分别判断数集
与是否具有性质P，并说明理由；(3)数集A中的
_____集合（选填“”或“”），请写出一个自然数：________，使其不可能属于集合；(4)证明：
.
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8 . 已知四棱锥
中，底面是边长为2的正方形，其他四个侧面都是腰长为
的等腰三角形，点
为
的重心.
；
(2)经过点及直线
作截四棱锥的截面
，设截面
平面
，请画出直线
，判断直线与平面
的位置关系，并进行证明；
(3)求二面角
的余弦值.
中，底面是边长为2的正方形，其他四个侧面都是腰长为的等腰三角形，点为的重心.
；(2)经过点
及直线作截四棱锥的截面，设截面平面，请画出直线，判断直线与平面的位置关系，并进行证明；(3)求二面角
的余弦值.
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解题方法
9 . 向量是研究几何的一个重要工具，在证明某些几何结论时会大大简化证明过程请用向量法解决解决以下问题：
的三条高线
交于一点；
(2)已知矩形
为平面内任意一点，求证：
(3)如图，已知圆
是圆
上两个动点，已知点
，求矩形
的顶点
的轨迹方程.
的三条高线交于一点；(2)已知矩形
为平面内任意一点，求证：(3)如图，已知圆
是圆上两个动点，已知点，求矩形的顶点的轨迹方程.
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解题方法
10 . 已知点
为圆
上任意一点，
，线段
的垂直平分线交直线
于点 ，设点的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程；
(2)若过点的直线与曲线的两条渐近线交于
，
两点，且为线段ST的中点.
（i）证明：直线与曲线有且仅有一个交点；
（ii） 求证：
是定值.
为圆上任意一点，，线段的垂直平分线交直线于点 ，设点的轨迹为曲线.(1)求曲线
的方程；(2)若过点
的直线与曲线的两条渐近线交于，两点，且为线段ST的中点.（i）证明：直线
与曲线有且仅有一个交点；（ii） 求证：
是定值.
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