名校
1 . 第二次世界大战期间，了解德军坦克的生产能力对盟军具有非常重要的战略意义.已知德军的每辆坦克上都有一个按生产顺序从1开始的连续编号.假设德军某月生产的坦克总数为N，随机缴获该月生产的n辆（
）坦克的编号为
，
，…，
，记
，即缴获坦克中的最大编号.现考虑用概率统计的方法利用缴获的坦克编号信息估计总数N.
甲同学根据样本均值估计总体均值的思想，用
估计总体的均值，因此
，得
，故可用
作为N的估计.
乙同学对此提出异议，认为这种方法可能出现
的无意义结果.例如，当
，
时，若
，
，
，则
，此时
.
(1)当，时，求条件概率
；
(2)为了避免甲同学方法的缺点，乙同学提出直接用M作为N的估计值.当
，
时，求随机变量M的分布列和均值
；
(3)丙同学认为估计值的均值应稳定于实际值，但直观上可以发现与N存在明确的大小关系，因此乙同学的方法也存在缺陷.请判断与N的大小关系，并给出证明.
）坦克的编号为，，…，，记，即缴获坦克中的最大编号.现考虑用概率统计的方法利用缴获的坦克编号信息估计总数N.甲同学根据样本均值估计总体均值的思想，用
估计总体的均值，因此，得，故可用作为N的估计.乙同学对此提出异议，认为这种方法可能出现
的无意义结果.例如，当，时，若，，，则，此时.(1)当
，时，求条件概率；(2)为了避免甲同学方法的缺点，乙同学提出直接用M作为N的估计值.当
，时，求随机变量M的分布列和均值；(3)丙同学认为估计值的均值应稳定于实际值，但直观上可以发现
与N存在明确的大小关系，因此乙同学的方法也存在缺陷.请判断与N的大小关系，并给出证明.
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2024-05-28更新
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1060次组卷
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4卷引用：浙江省（杭州二中、绍兴一中、温州中学、金华一中、衢州二中）五校联考2024届高考数学模拟卷
2 . 对于给定的一个
位自然数
（其中
，
），称集合
为自然数
的子列集合，定义如下：
{
且
，使得
}，比如：当
时，
.
(1)当
时，写出集合；
(2)有限集合
的元素个数称为集合的基数，一般用符号
来表示.
（ⅰ）已知
，试比较
大小关系；
（ⅱ）记函数
（其中
为
这个数的一种顺序变换），并将能使
取到最小值的
记为
.当
时，求的最小值，并写出所有满足条件的.
位自然数（其中，），称集合为自然数的子列集合，定义如下：{且，使得}，比如：当时，.(1)当
时，写出集合；(2)有限集合
的元素个数称为集合的基数，一般用符号来表示.（ⅰ）已知
，试比较大小关系；（ⅱ）记函数
（其中为这个数的一种顺序变换），并将能使取到最小值的记为.当时，求的最小值，并写出所有满足条件的.
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3 . 定义一：整数
的排列称为级排列，例如：2431是一个4级排列．定义二：在一个级排列
中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，那么它们就称为一个逆序．一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数，记为
．例如：4级排列2431中的逆序有21，43，41，31，所以
．
(1)求6级排列215643的逆序数
；
(2)称逆序数是偶数的排列为偶排列，逆序数是奇数的排列为奇排列
①判定级排列
，
的奇偶性；
②现将一个级排列
：
中的任意两个数交换位置，其余数位置不变，得到一个新的级排列
，证明：与的奇偶性不同．
的排列称为级排列，例如：2431是一个4级排列．定义二：在一个级排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，那么它们就称为一个逆序．一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数，记为．例如：4级排列2431中的逆序有21，43，41，31，所以．(1)求6级排列215643的逆序数
；(2)称逆序数是偶数的排列为偶排列，逆序数是奇数的排列为奇排列
①判定
级排列，的奇偶性；②现将一个
级排列：中的任意两个数交换位置，其余数位置不变，得到一个新的级排列，证明：与的奇偶性不同．
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名校
解题方法
4 . 对于函数
和数列
、
，若
，
，则称为函数
的“影数列”，为函数的一个“镜数列”．已知
，
，
．
(1)若为的“影数列”，为
的“镜数列”，
（ⅰ）求
的值；
（ⅱ）比较
和
的大小，并说明理由．
(2)若
为函数
的“影数列”，
为函数的“镜数列”，现将与的公共项按从小到大的顺序重新构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由．
和数列、，若，，则称为函数的“影数列”，为函数的一个“镜数列”．已知，，．(1)若
为的“影数列”，为的“镜数列”，（ⅰ）求
的值； （ⅱ）比较
和的大小，并说明理由．(2)若
为函数的“影数列”，为函数的“镜数列”，现将与的公共项按从小到大的顺序重新构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由．
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解题方法
5 . 为庆祝共青团成立一百周年，某校高二年级组织了一项知识竞答活动，有
三个问题.规则如下：只有答对当前问题才有资格回答下一个问题，否则停止答题：小明是否答对三个问题相互独立，答对三个问题的概率及答对时获得相应的荣誉积分如下表：
(1)若小明随机选择一道题，求小明答对的概率；
(2)若小明按照的顺序答题所获得的总积分为
，按照___________（在下列条件①②③中任选一个）的顺序答题所获得的总积分为
，请分别求
的分布列，并比较它们数学期望的大小.
①
；②
：③
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
三个问题.规则如下：只有答对当前问题才有资格回答下一个问题，否则停止答题：小明是否答对三个问题相互独立，答对三个问题的概率及答对时获得相应的荣誉积分如下表：问题 |
|
|
|
答对的概率 |
|
|
|
获得的荣誉积分 |
|
|
|
(2)若小明按照
的顺序答题所获得的总积分为，按照___________（在下列条件①②③中任选一个）的顺序答题所获得的总积分为，请分别求的分布列，并比较它们数学期望的大小.①
；②：③注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
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2022-07-01更新
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604次组卷
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3卷引用：广东省深圳市2021-2022学年高二下学期期末数学试题
解题方法
6 . 在一个不透明的盒子中有大小质地完全相同的1个红球和1个白球，从中随机地摸出一个球，观察其颜色后放回．设事件
“摸球2次出现1次红球”，
“摸球4次出现2次红球”．
(1)分别写出“摸球2次”和“摸球4次”这两个试验的样本空间；
(2)猜想
和
的大小关系，并验证你的猜想是否正确．
“摸球2次出现1次红球”，“摸球4次出现2次红球”．(1)分别写出“摸球2次”和“摸球4次”这两个试验的样本空间；
(2)猜想
和的大小关系，并验证你的猜想是否正确．
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2024-07-18更新
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119次组卷
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2卷引用：河南省开封市2023-2024学年高一下学期期末调研考试数学试题
名校
解题方法
7 . 二项分布是离散型随机变量重要的概率模型，在生活中被广泛应用．现在我们来研究二项分布的简单性质，若随机变量
．
(1)证明：（ⅰ）
（
，且
），其中
为组合数；
（ⅱ）随机变量的数学期望
；
(2)一盒中有形状大小相同的4个白球和3个黑球，每次从中摸出一个球且不放回，直到摸到黑球为止，记事件A表示第二次摸球时首次摸到黑球，若将上述试验重复进行10次，记随机变量表示事件A发生的次数，试探求
的值与随机变量最有可能发生次数的大小关系．
．(1)证明：（ⅰ）
（，且），其中为组合数；（ⅱ）随机变量
的数学期望；(2)一盒中有形状大小相同的4个白球和3个黑球，每次从中摸出一个球且不放回，直到摸到黑球为止，记事件A表示第二次摸球时首次摸到黑球，若将上述试验重复进行10次，记随机变量
表示事件A发生的次数，试探求的值与随机变量最有可能发生次数的大小关系．
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2024-05-12更新
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376次组卷
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4卷引用：湖南省湖湘教育三新探索协作体2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题
湖南省湖湘教育三新探索协作体2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题（已下线）第27题 二项分布（高二期末每日一题）山东省泰安市部分学校2023-2024学年高二下学期期末测试数学试题（已下线）第三章 随机变量及其分布列 专题三 重要的概率分布模型 微点3 重要的概率分布模型综合训练【基础版】
8 . 2023年5月10日长征七号火箭剑指苍穹，搭载天舟六号货运飞船为中国空间站运送补给物资，为中国空间站的航天员们长时间探索宇宙奥秘提供强有力的后援支持.5月30日，再问苍穹，神舟十六号发射成功.在“神箭”“神舟”的护送下，景海鹏、朱杨柱、桂海潮3名中国航天员顺利进入太空，开启为期约5个月的巡天之旅.某校部分学生十分关注中国空间站的发展，若将累计关注中国空间站发展的消息达到6次及以上者称为“航天达人”，未达到6次者称为“非航天达人”.现从该校随机抽取200人进行分析，得到数据如表所示：
(1)依据小概率值
的
独立性检验，能否认为“航天达人”与性别有关联？
(2)①从随机抽取的这200名学生中采用比例分配的分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机抽取3人.记事件A＝“至少有2名是男生”，事件B＝“至少有2名是航天达人的男生”，事件C＝“至多有1名是航天达人的女生”.试计算
和
的值，并比较它们的大小.
②由①中与的大小关系能否推广到更一般的情形？请写出结论，并说明理由.
参考公式及数据
，
.
| 航天达人 | 非航天达人 | 合计 | |
| 男 | 80 | 40 | 120 |
| 女 | 30 | 50 | 80 |
| 合计 | 110 | 90 | 200 |
的独立性检验，能否认为“航天达人”与性别有关联？(2)①从随机抽取的这200名学生中采用比例分配的分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机抽取3人.记事件A＝“至少有2名是男生”，事件B＝“至少有2名是航天达人的男生”，事件C＝“至多有1名是航天达人的女生”.试计算
和的值，并比较它们的大小.②由①中
与的大小关系能否推广到更一般的情形？请写出结论，并说明理由.参考公式及数据
，. | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.001 |
 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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名校
解题方法
9 . 已知直角梯形
，
，
，
，扇形圆心角
，
，如图，将
，
以及扇形
的面积分别记为
的表达式，并指出其大小关系（不需证明）；
(2)用
表示梯形的面积
；并证明：
；
(3)设
，
，试用代数计算比较
与
的大小.
，，，，扇形圆心角，，如图，将，以及扇形的面积分别记为
的表达式，并指出其大小关系（不需证明）；(2)用
表示梯形的面积；并证明：；(3)设
，，试用代数计算比较与的大小.
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2023-07-09更新
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649次组卷
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6卷引用：上海市复旦大学附属中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题
上海市复旦大学附属中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题（已下线）高一上学期期末考试解答题压轴题50题专练-举一反三系列（已下线）6.2 常用三角公式-高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）上海市华东师范大学第二附属中学2023-2024学年高一下学期3月月考试题（已下线）专题06 期末解答压轴题-《期末真题分类汇编》(上海专用）（已下线）专题04 三角-《期末真题分类汇编》(上海专用）
10 . 如图，在直三棱柱
中，平面
平面
，
(1)求证：
平面；
(2)若直线
与平面
所成角为，二面角
的大小为
，试判断，的大小关系，并予以证明.
中，平面平面， (1)求证：
平面；(2)若直线
与平面所成角为，二面角的大小为，试判断，的大小关系，并予以证明.
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