1 . 已知 
(1)比较
， x的大小， 并证明;
(2)求证：
(1)比较
， x的大小， 并证明;(2)求证：
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解题方法
2 . 已知点
为圆
上任意一点，
，线段
的垂直平分线交直线
于点
，设点的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程；
(2)若过点的直线
与曲线的两条渐近线交于
，
两点，且为线段ST的中点.
（i）证明：直线与曲线有且仅有一个交点；
（ii） 求证：
是定值.
为圆上任意一点，，线段的垂直平分线交直线于点 ，设点的轨迹为曲线.(1)求曲线
的方程；(2)若过点
的直线与曲线的两条渐近线交于，两点，且为线段ST的中点.（i）证明：直线
与曲线有且仅有一个交点；（ii） 求证：
是定值.
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名校
3 . 对于函数
，若实数
满足
，则称为的不动点．已知函数
．
(1)当
时，求证
；
(2)当
时，求函数的不动点的个数；
(3)设
，证明
．
，若实数满足，则称为的不动点．已知函数．(1)当
时，求证；(2)当
时，求函数的不动点的个数；(3)设
，证明．
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2024-07-01更新
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378次组卷
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2卷引用：2024届内蒙古呼和浩特市高三第二次质量数据监测文数试卷
4 . 已知动圆M经过定点
，且与圆
内切.
(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；
(2)设轨迹C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为轨迹C上异于A，B的动点，设直线PB交直线
于点T，连接AT交轨迹C于点Q；直线AP，AQ的斜率分别为
，
.
（i）求证：
为定值；
（ii）设直线
，证明：直线PQ过定点.
，且与圆内切.(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；
(2)设轨迹C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为轨迹C上异于A，B的动点，设直线PB交直线
于点T，连接AT交轨迹C于点Q；直线AP，AQ的斜率分别为，.（i）求证：
为定值；（ii）设直线
，证明：直线PQ过定点.
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名校
5 . 已知 
(1)将，
，
，
按由小到大排列，并证明；
(2)令
求证: 
在
内无零点.
(1)将
，，，按由小到大排列，并证明；(2)令
求证: 在内无零点.
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2024-08-20更新
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390次组卷
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3卷引用：内蒙古赤峰市2024届高三下学期4.20模拟考试理科数学试题
名校
解题方法
6 . 在数值计算中，帕德近似是一种常用的逼近方法．给定两个正整数
，若函数的
阶导数存在，函数在
处的
阶帕德近似定义为：
，且满足：
，
，其中
为函数的
阶导数．对于给定的正整数，函数的阶帕德近似是唯一的，函数的帕德近似记为
．例如，
．
(1)证明：当
时，
；
(2)当
时，比较
与
的大小；
(3)数列
满足
，记
，求证：
．
，若函数的阶导数存在，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，其中为函数的阶导数．对于给定的正整数，函数的阶帕德近似是唯一的，函数的帕德近似记为．例如，．(1)证明：当
时，；(2)当
时，比较与的大小；(3)数列
满足，记，求证：．
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2024-08-08更新
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217次组卷
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3卷引用：湖北省鄂东南省示范高中教改联盟校2023-2024学年高三下学期五月模拟考试数学试卷
解题方法
7 . 已知两个非零向量
，
，将向量绕着它的起点沿逆时针方向旋转
（
）弧度后，其方向与向量的方向相同，则叫做向量到的角．已知非零向量到的角为，数量
叫做向量与的
运算，记作
，即
．根据此定义，不难证明以下性质：
①
；
②
；
③
．
(1)利用以上性质证明：
；
(2)设
到
的角为，定义
．当
时，则
表示△OAB面积；当
时，则表示△OAB面积的相反数．利用上述定义和性质证明：
①如图，四边形ABCD的两边AD，BC延长相交于点E，对角线AC，BD的中点为F，G，求证：四边形ABCD的面积等于△EFG的面积的4倍；
，
，△ABC各顶点坐标分别为
，
，
，求证：△ABC面积为
．
，，将向量绕着它的起点沿逆时针方向旋转（）弧度后，其方向与向量的方向相同，则叫做向量到的角．已知非零向量到的角为，数量叫做向量与的运算，记作，即．根据此定义，不难证明以下性质：①
；②
；③
．(1)利用以上性质证明：
；(2)设
到的角为，定义．当时，则表示△OAB面积；当时，则表示△OAB面积的相反数．利用上述定义和性质证明：①如图，四边形ABCD的两边AD，BC延长相交于点E，对角线AC，BD的中点为F，G，求证：四边形ABCD的面积等于△EFG的面积的4倍；
，，△ABC各顶点坐标分别为，，，求证：△ABC面积为．
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8 . 若某类数列满足“
，且
”
，则称这个数列为“
型数列”.
(1)若数列满足
，求
的值并证明：数列是“型数列”；
(2)若数列的各项均为正整数，且
为“型数列”，记
，数列
为等比数列，公比
为正整数，当不是“型数列”时，
（i）求数列的通项公式；
（ii）求证：
.
满足“，且”，则称这个数列为“型数列”.(1)若数列
满足，求的值并证明：数列是“型数列”；(2)若数列
的各项均为正整数，且为“型数列”，记，数列为等比数列，公比为正整数，当不是“型数列”时，（i）求数列
的通项公式；（ii）求证：
.
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9 . 已知函数
，曲线
在点
处的切线为
，记
．
(1)当
时，求切线的方程；
(2)在（1）的条件下，求函数
的零点并证明
；
(3)当
时，直接写出函数的零点个数．（结论不要求证明）
，曲线在点处的切线为，记．(1)当
时，求切线的方程；(2)在（1）的条件下，求函数
的零点并证明；(3)当
时，直接写出函数的零点个数．（结论不要求证明）
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10 . 已知抛物线
上任意一点
满足
的最小值为
（
为焦点）.
(1)求
的方程；
(2)过点
的直线经过点且与物线交于
两点，求证：
；
(3)过作一条倾斜角为
的直线交抛物线于
两点，过分别作抛物线的切线.两条切线交于
点，过任意作一条直线交抛物线于
，交直线
于点，则
满足什么关系？并证明.
上任意一点满足的最小值为（为焦点）.(1)求
的方程；(2)过点
的直线经过点且与物线交于两点，求证：；(3)过
作一条倾斜角为的直线交抛物线于两点，过分别作抛物线的切线.两条切线交于点，过任意作一条直线交抛物线于，交直线于点，则满足什么关系？并证明.
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