名校
1 . 根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数
在约束条件
的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数
，其中
为拉格朗日系数．分别对
中的
部分求导，并使之为0，得到三个方程组，如下：
，解此方程组，得出解
，就是二元函数在约束条件的可能极值点．
的值代入到
中即为极值．
补充说明：【例】求函数
关于变量
的导数．即：将变量
当做常数，即：
，下标加上，代表对自变量x进行求导．即拉格朗日乘数法方程组之中的
表示分别对进行求导．
(1)求函数
关于变量的导数并求当
处的导数值．
(2)利用拉格朗日乘数法求：设实数满足
，求
的最大值．
(3)①若
为实数，且
，证明：
．
②设
，求
的最小值．
在约束条件的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数，其中为拉格朗日系数．分别对中的部分求导，并使之为0，得到三个方程组，如下：，解此方程组，得出解，就是二元函数在约束条件的可能极值点．的值代入到中即为极值．补充说明：【例】求函数
关于变量的导数．即：将变量当做常数，即：，下标加上，代表对自变量x进行求导．即拉格朗日乘数法方程组之中的表示分别对进行求导．(1)求函数
关于变量的导数并求当处的导数值．(2)利用拉格朗日乘数法求：设实数
满足，求的最大值．(3)①若
为实数，且，证明：．②设
，求的最小值．
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解题方法
2 . 在组合恒等式的证明中，构造一个具体的计数模型从而证明组合恒等式的方法叫做组合分析法，该方法体现了数学的简洁美，我们将通过如下的例子感受其妙处所在．
(1)对于
元一次方程
，试求其正整数解的个数；
(2)对于元一次方程组
，试求其非负整数解的个数；
(3)证明：
（可不使用组合分析法证明）．
注：
与
可视为二元一次方程的两组不同解．
(1)对于
元一次方程，试求其正整数解的个数；(2)对于
元一次方程组，试求其非负整数解的个数；(3)证明：
（可不使用组合分析法证明）．注：
与可视为二元一次方程的两组不同解．
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2024-03-08更新
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1119次组卷
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3卷引用：广东省五粤名校联盟2024届高三第一次联考数学试题
名校
解题方法
3 . 利用方程的方法可以将无限循环小数化为分数，例如将
化为分数是这样计算的：设
，则
，即
，解得
.
这是一种利用方程求解具有无限过程的问题的方法，这种方法在高中计算无限概率、无限期望问题时都有很好的妙用.
已知甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率为
，乙获胜的概率为
，每局比赛的结果互不影响.规定：净胜
局指的是一方比另一方多胜局.
(1)如果约定先获得净胜两局者获胜，求恰好4局结束比赛的概率；
(2)如果约定先获得净胜三局者获胜，那么在比赛过程中，甲可能净胜
局.设甲在净胜
局时，继续比赛甲获胜的概率为
，比赛结束（甲、乙有一方先净胜三局）时需进行的局数为
，期望为
.
①求甲获胜的概率
；
②求
.
化为分数是这样计算的：设，则，即，解得.这是一种利用方程求解具有无限过程的问题的方法，这种方法在高中计算无限概率、无限期望问题时都有很好的妙用.
已知甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率为
，乙获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响.规定：净胜局指的是一方比另一方多胜局.(1)如果约定先获得净胜两局者获胜，求恰好4局结束比赛的概率；
(2)如果约定先获得净胜三局者获胜，那么在比赛过程中，甲可能净胜
局.设甲在净胜局时，继续比赛甲获胜的概率为，比赛结束（甲、乙有一方先净胜三局）时需进行的局数为，期望为.①求甲获胜的概率
；②求
.
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2024-06-09更新
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1305次组卷
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2卷引用：湖北省武汉市武昌区2024届高三下学期5月质量检测数学试卷
4 . “双减”政策执行以来，中学生有更多的时间参加志愿服务和体育锻炼等课后活动．某校为了解学生课后活动的情况，从全校学生中随机选取100人，统计了他们一周参加课后活动的时间（单位：小时），分别位于区间
，用频率分布直方图表示如下：
(1)估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间
的概率；
(2)从全校学生中随机选取3人，记
表示这3人一周参加课后活动的时间在区间
的人数，求的分布列和数学期望
；
(3)设全校学生一周参加课后活动的时间的中位数估计值为
､平均数的估计值为
（计算平均数时，同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替），请直接写出
的大小关系．
，用频率分布直方图表示如下：
(1)估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间
的概率；(2)从全校学生中随机选取3人，记
表示这3人一周参加课后活动的时间在区间的人数，求的分布列和数学期望；(3)设全校学生一周参加课后活动的时间的中位数估计值为
､平均数的估计值为（计算平均数时，同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替），请直接写出的大小关系．
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2024-02-27更新
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635次组卷
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3卷引用：广东省广州市广雅中学2024届高三下学期教学情况检测（二）数学试题
广东省广州市广雅中学2024届高三下学期教学情况检测（二）数学试题北京市海淀区北京一零一中2023-2024学年高三下学期统考四（开学考）数学试题（已下线）7.4.1 二项分布（分层练习，6大题型）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）
名校
解题方法
5 . 已知等差数列
的首项
，公差
，且
，设关于x的不等式
的解集中整数的个数为
．
(1)求数列的前n项和为
；
(2)若数列满足
，求数列
的通项公式．
的首项，公差，且，设关于x的不等式的解集中整数的个数为．(1)求数列
的前n项和为；(2)若数列满足
，求数列的通项公式．
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2024-04-08更新
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373次组卷
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2卷引用：四川省绵阳中学2024届高三高考适应性考试（一）数学（理科）试题
名校
6 . 已知函数
．
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)若
，不等式
在
上存在实数解，求实数的取值范围．
．(1)当
时，求函数的单调区间；(2)若
，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围．
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2024-02-10更新
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4143次组卷
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10卷引用：江西省赣州市南康中学2024届高三“九省联考”考后模拟训练数学试题（一）
江西省赣州市南康中学2024届高三“九省联考”考后模拟训练数学试题（一）2024届广东省新改革高三模拟高考预测卷一（九省联考题型）数学试卷（已下线）重难点2-4 利用导数研究不等式与极值点偏移（8题型+满分技巧+限时检测）（已下线）第二章 导数及其应用（基础检测卷）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第二册）广东省中山市广东博文学校2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题福建省福州第二中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题吉林省延边朝鲜族自治州和龙市第一高级中学校2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷陕西省汉中市西乡县第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题河北省衡水市第二中学2023-2024学年高二下学期5月学科素养检测（二调）数学试题数学试题-【名校面对面】2023-2024学年河南省普通高中高三阶段性检测（一）
7 . 九连环是中国一种古老的智力游戏，其结构如图，玩九连环就是要把这九个环全部从框架上解下或套上.研究发现，要解下第个环，则必须先解下前面第
个环.用
表示解下个环所需最少移动次数，用
表示前
个环都已经解下后，再解下第个环所需次数，显然，
，
，且
.若要将第个环解下，则必须先将第个环套回框架，这个过程需要移动
次，这时再移动1次，就可以解下第个环；然后再将第个环解下，又需要移动次.由此可得，
.据此计算
______ .
个环，则必须先解下前面第个环.用表示解下个环所需最少移动次数，用表示前个环都已经解下后，再解下第个环所需次数，显然，，，且.若要将第个环解下，则必须先将第个环套回框架，这个过程需要移动次，这时再移动1次，就可以解下第个环；然后再将第个环解下，又需要移动次.由此可得，.据此计算
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名校
8 . 已知函数
，
．
（1）当
时，求不等式
的解；
（2）对任意
．关于x的不等式
总有解，求实数a的取值范围．
，．（1）当
时，求不等式的解；（2）对任意
．关于x的不等式总有解，求实数a的取值范围．
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2020-06-04更新
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737次组卷
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8卷引用：陕西省渭南市2023-2024学高三上学期教学质量检测一(一模)文科数学试题
名校
9 . 已知函数
.
（1）解关于x不等式
；
（2）对任意正数a，b满足
，求使得不等式
恒成立的x的取值集合M．
.（1）解关于x不等式
；（2）对任意正数a，b满足
，求使得不等式恒成立的x的取值集合M．
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2020-03-06更新
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325次组卷
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3卷引用：四川省泸州市泸县第四中学2024届高三一模数学（文）试题
10 . 我国古代数学著作《九章算术》中记载：斜解立方，得两堑堵．其意思是：一个长方体沿对角面一分为二，得到两个一模一样的堑堵．如图，在长方体
中，
，
，
，将长方体沿平面
一分为二，得到堑堵
，下列结论正确的序号为______ ．
①点C到平面的距离等于
；
②
与平面
所成角的正弦值为
；
③堑堵外接球的表面积为
；
④堑堵没有内切球．
中，，，，将长方体沿平面一分为二，得到堑堵，下列结论正确的序号为 ①点C到平面
的距离等于；②
与平面所成角的正弦值为；③堑堵
外接球的表面积为；④堑堵
没有内切球．
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