1 . 某中学校园内有块扇形空地，经测量其半径为m，圆心角为.学校准备在此扇形空地上修建一所矩形室内篮球场ABCD，初步设计方案如图1所示.

(1)求出初步设计方案中矩形ABCD面积的最大值.
(2)你有没有更好的设计方案来获得更大的篮球场面积？若有在图2画出来，并证明你的结论.

2 . 已知有两只蚂蚁小红和小白在单位圆上活动，且有点，点.

(1)设小红所在位置为，小白所在位置为，.不妨设.那么小红和小白的直线距离为___________；
(2)如果小红和小白分别从､两点以相同的速度沿圆周分别以逆时针方向和顺时针方向爬行，且没有碰面.求两只蚂蚁所在位置（分别视为一个点）及､两点构成的四边形周长的最大值？
(3)如果小红和小白沿圆周随意溜达，这两只蚂蚁没有碰面且都没有在点，那么这两只蚂蚁所在位置（分别视为一个点）和点构成三角形.这类三角形周长最大值为___________；并予以证明.

3 . 定义函数为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：.可得：也为函数的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究的单调性：函数在是严格减函数，在上严格增函数，再结合，可以确定：的最小正周期为.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题：
(1)求“余正弦”函数的定义域；
(2)判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由；
(3)探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域.

4 . 已知在中，点，分别为，的中点．
(1)若的面积为，，且为锐角，求的长；
(2)若，，证明：．

5 . 如图，有一个三角形的湿地公园，其中，点D在上，且，点D为公园入口.为了方便游客观光，拟在上选择一点E，在上选择一点F，修建三条观光廊桥，且要求，设.

（1）当变化时，求证：廊桥与的长度比值为定值；
（2）为节约修建成本，求三条廊桥长度和的最小值.

6 . 已知正的边长为，内切圆圆心为，点满足.
（1）求证：为定值；
（2）把三个实数，，的最小值记为，b，c}，若，求的取值范围；
（3）若，，求当取最大值时，的值.

7 . 已知函数，其中．求证：
(1)，且；
(2)，，.

8 . 若是边长为2的正三角形．请在内画一条线段，端点，都在的边上，并将正分成面积相等的两部分．

（1）请给出线段的一种画法，并证明；
（2）如果此时线段是所有画法中最短的，求此时该线段的长度；
（3）请提出一个类似（2）的问题（不需要解决你提出的问题）．

9 . 已知点D，P在锐角所在的平面内，且满足，．
(1)若，求实数，的值；
(2)已知，其中为的面积．
①求证：；
②求的最小值，并求此时的值．

10 . 若实数，，且满足，则称x､y是“余弦相关”的.
(1)若，求出所有与之“余弦相关”的实数；
(2)若实数x､y是“余弦相关”的，求x的取值范围；
(3)若不相等的两个实数x､y是“余弦相关”的，求证：存在实数z，使得x､z为“余弦相关”的，y､z也为“余弦相关”的.