1 . 定义在上的函数，对任意的，恒有，且时，有
(1)判断的奇偶性并证明；
(2)若，且对，都有恒成立，求的取值范围；
(3)若，函数有三个不同的零点，求的取值范围.

2 . 已知定义在上的增函数，函数，．
(1)用定义证明函数是增函数，并判断其奇偶性；
(2)若，不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围；
(3)在（2）的条件下，函数有两个不同的零点，且，求实数a的取值范围．

3 . 已知函数.
(1)若有两个零点，求a的取值范围；
(2)若方程有两个实根，，且，证明：.

4 . 已知函数.
(1)若函数在上有唯一零点，求a的取值范围；
(2)当时，求证：对任意的，都有.

5 . 已知函数，且．
(1)求证：函数有两个不同的零点；
(2)设是函数的两个不同的零点，求的取值范围

6 . 用反证法证明：对任意的，关于的方程与至少有一个方程有实根.

7 . 如果函数在其定义域内存在实数，使得成立，那么称是函数的“阶梯点”．
(1)试判断函数是否有“阶梯点”，并说明理由；
(2)证明：函数有唯一“阶梯点”；
(3)设函数在区间内有“阶梯点”，求实数的取值范围．

8 . 已知函数有两个不同的零点，.
(1)当时，求证：；
(2)求实数a的取值范围；
(3)求证：.

9 . 已知，
(1)若对任意实数x，恒成立，求证：；
(2)若在上与x轴有两个不同的交点，求的取值范围．

10 . 设（a为实常数），与的图像关于y轴对称.
(1)若函数为奇函数，求a的取值；
(2)当a=0时，若关于x的方程有两个不等实根，求m的范围；
(3)当|a|<1时，求方程的实数根个数，并加以证明.