1 . 已知
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)设是函数的极值点，证明：.

2 . 已知函数，，且曲线和在原点处有相同的切线．
(1)求实数a的值：
(2)证明：当时，；
(3)令，且．证明：．

3 . 已知函数．
(1)若函数在时取得极值，求的值；
(2)在第一问的条件下，求证：函数有最小值；
(3)当时，过点与曲线相切的直线有几条，并说明理由注：不用求出具体的切线方程，只需说明切线条数的理由

4 . 若存在且使成立，则在区间上，称为的“倍扩张函数”．设，若在区间上为的“倍扩张函数”．
(1)求实数的取值范围；
(2)证明：与的图象存在两条公切线．

5 . 已知函数，函数.令函数.
(1)若曲线与直线相切，
①求实数的值；
②证明：；
(2)若函数有且仅有一个零点，证明：.

6 . 已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求证：．

7 . 已知函数，，若曲线与相切.
(1)求函数的单调区间；
(2)若曲线上存在两个不同点，关于y轴的对称点均在图象上.
①求实数m的取值范围；
②证明：.

8 . 已知函数，其中是自然对数的底数.
(1)设曲线与轴正半轴相交于点，曲线在点处的切线为，求证：曲线上的点都不在直线的上方；
(2)若关于的方程（为正实数）有两个不等实根，求证：.

9 . 已知函数．
(1)当时，求曲线与的公切线方程；
(2)讨论方程实根的个数；
(3)若有两个不等实根，求证：．

10 . 已知函数.
(1)设是的最小零点，求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：当时，.