1 . 已知.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若，证明：.

2 . 已知函数.
(1)若有两个零点，求实数a的取值范围；
(2)设曲线过原点的切线为，在点处的切线为，证明：与y轴围成的区域G的面积S为定值.

3 . 已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数有两个极值点，，求证：.

4 . 已知．
(1)若函数在点处的切线斜率为1，求函数的单调区间；
(2)已知的两个零点为，且为的唯一极值点，求证：．

5 . 已知函数的图象在原点处的切线方程为.
(1)求函数的解析式；
(2)证明：.

6 . 已知，函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)过原点分别作曲线和的切线和，求证：存在，使得切线和的斜率互为倒数；
(3)若函数的图象与轴交于两点，，且．设，其中常数、满足条件，，试判断函数在点处的切线斜率的正负，并说明理由．

7 . 已知抛物线，过点作两条互相垂直的直线和，交抛物线于两点，交抛物线于两点，当点的横坐标为1时，抛物线在点处的切线斜率为.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）已知为坐标原点，线段的中点为，线段的中点为，求证：直线过定点.

8 . 已知抛物线，直线交于、两点，且当时，.

(1)求的值；
(2)如图，抛物线在、两点处的切线分别与轴交于、，和交于，.证明：存在实数，使得.

9 . 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求证：.

10 . 已知函数.
（1）若和直线相切，求的值；
（2）令，，当时，判断零点的个数并证明.