1 . 已知函数.
(1)若，求证；函数的图象与轴相切于原点；
(2)若函数在区间，各恰有一个极值点，求实数的取值范围.

2 . 已知.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当且时，证明：曲线在轴的上方.

3 . 已知函数的导函数为，且曲线在点处的切线方程为.
(1)证明：当时，；
(2)设有两个极值点.，过点和的直线的斜率为k，证明：.

4 . 已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：.

5 . 已知函数.
(1)证明：恰有一个零点，且；
(2)我们曾学习过“二分法”求函数零点的近似值，另一种常用的求零点近似值的方法是“牛顿切线法”.任取，实施如下步骤：在点处作的切线，交轴于点：在点处作的切线，交轴于点；一直继续下去，可以得到一个数列，它的各项是不同精确度的零点近似值.
（i）设，求的解析式；
（ii）证明：当，总有.

6 . 已知函数，且曲线在处的切线方程为
(1)求的值；
(2)证明：对任意的恒成立.（参考数据：）

7 . 已知函数，.
(1)若直线是的切线，函数总存在，使得，求的取值范围；
(2)设，若恰有三个不等实根，证明：.

8 . 已知函数．
(1)若恒成立，求实数的最小值；
(2)证明：有且只有两条直线与函数的图象都相切．

9 . 已知函数 ，.
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)当时，，记函数在上的最大值为，证明：．

10 . 已知函数，，.
(1)若，求证：；
(2)若函数与函数存在两条公切线，求的取值范围.