1 . 已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)已知，，求证：函数存在极小值.

2 . 已知．
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)请严格证明曲线有唯一交点；
(3)对于常数，若直线和曲线共有三个不同交点，其中，求证：成等比数列．

3 . 已知函数.
(1)若，求函数的极值，并指出是极大值还是极小值；
(2)若，求函数在上的最大值和最小值；
(3)若，求证：在区间上，函数的图象在函数的图象的下方；由此启发，给出以下结论成立的一个判断依据，“在区间（a为常数）上，可导函数的图象在可导函数的图象上方”（不必证明）.

4 . 已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)设函数有两个极值点，求证：.

5 . 设函数，．
(1)讨论函数在区间上的单调性；
(2)若函数在区间上的极值点为a且零点为b，求证：．
（参考数据：，）

6 . 已知函数
(1)讨论函数的极值点个数；
(2)证明：当时，.

7 . 已知函数.
(1)若，求证：；
(2)若有两个极值点，且，当取最小值时，求的极小值.

8 . 已知函数.
(1)是否存在实数，使得函数在定义域内单调递增；
(2)若函数存在极大值，极小值，证明：.（其中是自然对数的底数）

9 . 已知函数，为实数.
(1)若在上单调递增，求实数的取值范围；
(2)若.
①证明：既有极大值又有极小值；
②若，分别为函数的极大值和极小值，求的取值范围.

10 . 已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)求证：．