1 . 已知各项均不为0的数列满足(是正整数),,定义函数,是自然对数的底数.
(1)求证:数列是等差数列,并求数列的通项公式;
(2)记函数,其中.
(i)证明:对任意,;
(ii)数列满足,设为数列的前项和.数列的极限的严格定义为:若存在一个常数,使得对任意给定的正实数(不论它多么小),总存在正整数m满足:当时,恒有成立,则称为数列的极限.试根据以上定义求出数列的极限.
(1)求证:数列是等差数列,并求数列的通项公式;
(2)记函数,其中.
(i)证明:对任意,;
(ii)数列满足,设为数列的前项和.数列的极限的严格定义为:若存在一个常数,使得对任意给定的正实数(不论它多么小),总存在正整数m满足:当时,恒有成立,则称为数列的极限.试根据以上定义求出数列的极限.
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2 . 若函数满足,称为的不动点.
(1)求函数的不动点;
(2)设.求证:恰有一个不动点;
(3)证明:函数有唯一不动点的充分非必要条件是函数有唯一不动点.
(1)求函数的不动点;
(2)设.求证:恰有一个不动点;
(3)证明:函数有唯一不动点的充分非必要条件是函数有唯一不动点.
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3 . 已知,
(1)求函数的导数,并证明:函数在上是严格减函数(常数为自然对数的底);
(2)根据(1),判断并证明与的大小关系,并请推广至一般的结论(无须证明);
(3)已知、是正整数,,,求证:是满足条件的唯一一组值.
(1)求函数的导数,并证明:函数在上是严格减函数(常数为自然对数的底);
(2)根据(1),判断并证明与的大小关系,并请推广至一般的结论(无须证明);
(3)已知、是正整数,,,求证:是满足条件的唯一一组值.
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2022-12-15更新
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803次组卷
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4卷引用:上海市嘉定区2023届高三上学期一模数学试题
4 . 已知定义在上的函数的表达式为,其所有的零点按从小到大的顺序组成数列().
(1)求函数在区间上的值域;
(2)求证:函数在区间()上有且仅有一个零点;
(3)求证:.
(1)求函数在区间上的值域;
(2)求证:函数在区间()上有且仅有一个零点;
(3)求证:.
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5 . 若函数的图象上的两个不同点处的切线互相重合,则称该切线为函数的图象的“自公切线”,称这两点为函数的图象的一对“同切点”.
(1)分别判断函数与的图象是否存在“自公切线”,并说明理由;
(2)若,求证:函数有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”;
(3)设,的零点为,,求证:“存在,使得点与是函数的图象的一对‘同切点’”的充要条件是“是数列中的项”.
(1)分别判断函数与的图象是否存在“自公切线”,并说明理由;
(2)若,求证:函数有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”;
(3)设,的零点为,,求证:“存在,使得点与是函数的图象的一对‘同切点’”的充要条件是“是数列中的项”.
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解题方法
6 . 利用曲线的切线进行放缩:设上任意一点的横坐标为,则过该点的切线方程为,即,由此可得与有关的不等式,其中,等号当且仅当时成立;设上任意一点的横坐标为,则过该点的切线方程为,即,由此可得与有关的不等式:,其中,等号当且仅当时成立,设是在点处的切线
(1)求的解析式
(2)求证:
(3)设,若对恒成立,求的取值范围.
(1)求的解析式
(2)求证:
(3)设,若对恒成立,求的取值范围.
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解题方法
7 . 已知常数,设,
(1)若,求函数的最小值;
(2)是否存在,且,,依次成等比数列,使得、、依次成等差数列?请说明理由.
(3)求证:“”是“对任意,,都有”的充要条件.
(1)若,求函数的最小值;
(2)是否存在,且,,依次成等比数列,使得、、依次成等差数列?请说明理由.
(3)求证:“”是“对任意,,都有”的充要条件.
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解题方法
8 . 函数、的定义域均为,若对任意两个不同的实数,,均有或成立,则称与为相关函数对.
(1)判断函数与是否为相关函数对,并说明理由;
(2)已知与为相关函数对,求实数的取值范围;
(3)已知函数与为相关函数对,且存在正实数,对任意实数,均有.求证:存在实数,使得对任意,均有.
(1)判断函数与是否为相关函数对,并说明理由;
(2)已知与为相关函数对,求实数的取值范围;
(3)已知函数与为相关函数对,且存在正实数,对任意实数,均有.求证:存在实数,使得对任意,均有.
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2024-05-23更新
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502次组卷
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3卷引用:上海市杨浦区2024届高三下学期二模质量调研数学试卷
名校
9 . 设.
(1)证明:的图象与直线有且只有一个横坐标为的公共点,且;
(2)求所有的实数,使得直线与函数的图象相切;
(3)设(其中由(1)给出),且,,求的最大值.
(1)证明:的图象与直线有且只有一个横坐标为的公共点,且;
(2)求所有的实数,使得直线与函数的图象相切;
(3)设(其中由(1)给出),且,,求的最大值.
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2023-09-09更新
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712次组卷
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4卷引用:上海市行知中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试卷
上海市行知中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试卷四川省成都市石室中学2023-2024学年高三上学期开学考试文科数学试题四川省成都市石室中学2023-2024学年高三上学期开学考试理科数学试题(已下线)第四章 导数与函数的零点 专题四 导数中隐零点问题 微点4 导数中隐零点问题综合训练
名校
10 . 设函数与的定义域为与分别为函数与的导函数,若存在,满足且,则称函数与为“优美函数”.已知函数与.
(1)已知和,求证:和;
(2)当时,若函数与为“优美函数”,求的取值范围;
(3)当时,已知函数与为“优美函数”,求证:.
(1)已知和,求证:和;
(2)当时,若函数与为“优美函数”,求的取值范围;
(3)当时,已知函数与为“优美函数”,求证:.
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