1 . 在平面直角坐标系xOy中，已知圆与抛物线交于点M，N（异于原点O），MN恰为该圆的直径，过点E（0，2）作直线交抛物线于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线交于点P．
(1)求证：点P的纵坐标为定值；
(2)若F是抛物线C的焦点，证明：．

2 . 在锐角中，，点O为的外心．
(1)若，求的最大值；
(2)若．
①求证：；
②求的取值范围．

3 . 已知圆经过，两点.
(1)当，并且是圆的直径，求此时圆的标准方程；
(2)如果是圆的直径，证明：无论a取何正实数，圆恒经过除外的另一个定点，求出这个定点坐标.

4 . 中，，边上的中线，
(1)证明：和均为定值；
(2)求的取值范围．

5 . 已知向量：.
(1)求与的模长.
(2)求与的数量积.
(3)求与的夹角的余弦值.
(4)借助向量和单位圆求证：

6 . 已知点，，.
(1)求证：；
(2)要使四边形为矩形，求点的坐标.

7 . 如图，已知动圆过定点且与轴相切，点关于圆心的对称点为，点的轨迹为.
   
(1)求曲线的方程；
(2)一条直线经过点，且交曲线于、两点，点为直线上的动点.
①求证：不可能是钝角；
②是否存在这样的点，使得是正三角形？若存在，求点的坐标；否则，说明理由.

8 . 已知向量、的夹角为．
(1)求·的值
(2)当时，对于任意的，证明，和都垂直．

9 . 在复平面内复数所对应的点为，O为坐标原点，i是虚数单位.
(1)，计算与；
(2)设，求证：，并指出向量满足什么条件时该不等式取等号.

10 . 已知直线与圆交于两点．
(1)当最大时，求直线的方程；
(2)若，证明：为定值．