1 . 对于项数为的数列，若数列满足，，其中，表示数集中最大的数，则称数列是的数列.
(1)若各项均为正整数的数列的数列是，写出所有的数列；
(2)证明：若数列中存在使得，则存在使得成立；
(3)数列是的数列，数列是的数列，定义其中．求证：为单调递增数列的充要条件是为单调递增数列．

2 . 基本不等式可以推广到一般的情形：对于个正数，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当时，等号成立．若无穷正项数列同时满足下列两个性质：①；②为单调数列，则称数列具有性质．
(1)若，求数列的最小项；
(2)若，记，判断数列是否具有性质，并说明理由；
(3)若，求证：数列具有性质．

3 . 设函数，（其中常数，），无穷数列满足：首项，.

(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；
(2)若数列是严格增数列，求证：当时，数列不是等差数列；
(3)当时，数列是否可能为公比小于0的等比数列？若可能，求出所有公比的值；若不可能，请说明理由.

4 . 对于函数，把称为函数的一阶导，令，则将称为函数的二阶导，以此类推得到n阶导.为了方便书写，我们将n阶导用表示.
(1)已知函数，写出其二阶导函数并讨论其二阶导函数单调性.
(2)现定义一个新的数列：在取作为数列的首项，并将作为数列的第项.我们称该数列为的“n阶导数列”
①若函数（），数列是的“n阶导数列”，取T_n为的前n项积，求数列的通项公式.
②在我们高中阶段学过的初等函数中，是否有函数使得该函数的“n阶导数列”为严格减数列且为无穷数列，请写出它并证明此结论.（写出一个即可）

5 . 已知数列为有穷正整数数列.若数列A满足如下两个性质，则称数列A为m的k减数列：
①；
②对于，使得的正整数对有k个.
(1)写出所有4的1减数列；
(2)若存在m的6减数列，证明：；
(3)若存在2024的k减数列，求k的最大值.

6 . 已知正项数列，满足（其中）.
(1)若，且，证明：数列和均为等比数列；
(2)若，以为三角形三边长构造序列（其中），记外接圆的面积为，证明：；
(3)在（2）的条件下证明：数列是递减数列.

7 . 设对任意，数列满足，，数列满足．
(1)证明：单调递增，且；
(2)记，证明：存在常数，使得．

8 . 甲、乙两选手进行一场体育竞技比赛，采用局胜制的比赛规则，即先赢下局比赛者最终获胜. 已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛结束时，甲最终获胜的概率为.
(1)若，结束比赛时，比赛的局数为，求的分布列与数学期望；
(2)若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利，即.
(i)求的取值范围；
(ii)证明数列单调递增，并根据你的理解说明该结论的实际含义.

9 . 已知无穷数列满足，其中表示x，y中最大的数，表示x，y中最小的数.
(1)当，时，写出的所有可能值；
(2)若数列中的项存在最大值，证明：0为数列中的项；
(3)若，是否存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有？如果存在，写出一个满足条件的M；如果不存在，说明理由.

10 . 对于数列，若从第二项起，每一项与它的前一项之差都大于或等于（小于或等于）同一个常数d，则叫做类等差数列，叫做类等差数列的首项，d叫做类等差数列的类公差.
(1)若类等差数列满足，请类比等差数列的通项公式，写出数列的通项不等式（不必证明）；
(2)若数列中，，.
①判断数列是否为类等差数列，若是，请证明，若不是，请说明理由；
②记数列的前n项和为，证明：.