1 . 已知数列的前项和为.若对任意，都有
(1)求，的值；
(2)求证：数列为等比数列；
(3)记，数列的前项和为，求证： .

2 . 设等比数列的前项和为，已知.
(1)求数列通项公式；
(2)记，证明：.

3 . 数列的前项和为，，满足，设，数列的前项和为．
(1)求和的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求证：.

4 . 在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．
问题：已知等差数列为其前n项和，若______________．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求证：数列的前n项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

5 . 已知数列的前项和为，且满足，当时，.
(1)证明为等差数列，并求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前2022项和.

6 . 已知数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足：，的前项和为，求证：.

7 . 等差数列各项均为正数，，前n项和为，等比数列中，，且．
(1)求与；
(2)证明：．

8 . 已知函数，对任意，都有．
(1)求的值．
(2)数列满足：，求数列前项和．
(3)若，证明：

9 . 已知正项数列的前项和为，且，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和，求证：.

10 . 已知数列满足，（其中）
(1)判断并证明数列的单调性；
(2)记数列的前n项和为，证明：．