1 . 现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱 (如图所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.

   

(1)若，，则仓库的容积是多少？
(2)若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？

2 . 如图，在底面为菱形的四棱锥中，底面，其中为底面的中心.

(1)证明：平面平面.
(2)若，求四棱锥体积的最大值.

3 . 如图，在中，，，，．将沿折起，使点到达点的位置．

(1)请在答题纸的图中作出平面与平面的交线，并指出这条直线（不必写出作图过程）；
(2)证明：平面平面；
(3)若直线和直线所成角的大小为，求四棱锥的体积．

4 . 如图，已知棱长为4的正方体为的中点，为的中点，，且面.

(1)求证：四点共面，并确定点位置；
(2)求异面直线与之间的距离；
(3)作出经过点的截面（不需说明理由，直接注明点的位置），并求出该截面的周长.

5 . 如图所示，在直三棱柱中，，且.

(1)求证：平面平面；
(2)若D是的中点，求三棱锥的体积.

6 . 《九章算术》作为中国古代数学专著之一，在其“商功”篇内记载：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.”鳖臑是我国古代数学对四个面均为直角三角形的四面体的统称.如图所示，是长方体.

(1)求证：三棱锥为鳖臑；
(2)若，，，求三棱锥的表面积.

7 . 已知直三棱柱（如图所示），底面是边长为2的正三角形，，为的中点．
   
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积．

8 . 如图1，在中，D，E分别为的中点；O为的中点，，，将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2，点F是线段上的一点（不包含端点）．

   

(1)求证：；
(2)若直线和平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积．

9 . 如下图，在直三棱柱中，，分别为，的中点，且，.

(1)求三棱锥的体积；
(2)求直线与平面所成角的余弦值.

10 . 如图，在正三棱柱中，分别为的中点，.
   
(1)求；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.