1 . 在四棱锥中，已知，是线段上的点.

(1)求证：底面；
(2)是否存在点使得三棱锥的体积为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

2 . 如图，在四棱锥中，已知平面，直线与平面所成的角是，底面ABCD是菱形，，，点E，F分别为BC，PD的中点，Q是直线PC与平面AEF的交点．
   
(1)求证：平面平面；
(2)求三棱锥体积．

3 . 正多面体也称柏拉图立体（被誉为最有规律的立体结构），是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正八面体的棱长都是2（如图），则（       ）

A．平面

B．直线与平面所成的角为60°

C．若点为棱上的动点，则的最小值为

D．若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值

4 . 如图，在四棱柱中，，，底面．
   
(1)若为边的中点，求证：平面平面；
(2)若，四棱柱体积为，的面积为，求二面角的正弦值．

5 . 如图，在直四棱柱中，底面为正方形，为棱的中点，．

(1)求三棱锥的体积．
(2)在上是否存在一点，使得平面平面.如果存在，请说明点位置并证明.如果不存在，请说明理由.

6 . 正三棱锥的侧面与底面所成的二面角为，相邻侧面所成的二面角为，求证：．

7 . 如下如图，水平桌面上放置一个透明塑料制成的长方体水槽，水面高度恰为长方体高的一半，在该长方体侧面上有一个小孔点到的距离为3.将该长方体水槽绕倾斜（始终在桌面上，如下如图所示），此时水恰好流出时，液面与棱分别相交于点.

(1)证明：四边形是矩形；
(2)当水恰好流出时，求二面角的大小.

8 . 如图，在四棱锥中，底面为菱形，为等边三角形，点E，F分别是棱的中点，且．
   
(1)求证：平面;
(2)若M是棱上一点，且三棱锥的体积是三棱锥体积的2倍，求的值．

9 . 在如图所示的几何体中，平面平面，记为中点，平面与平面的交线为．

(1)求证：平面；
(2)若三棱锥的体积与几何体的体积满足关系为上一点，求当最大时，直线与平面所成角的正弦值的最大值．

10 . 如图，在三棱柱中，平面，，，，是棱的中点，在棱上，且.

   

(1)证明：平面；
(2)若四棱锥的体积等于1，判断平面与平面是否垂直，并说明理由.