1 . 数学史上著名的波尔约-格维也纳定理:任意两个面积相等的多边形,它们可以通过相互拼接得到.它由法卡斯·波尔约(FarksBolyai)和保罗·格维也纳(PaulGerwien)两位数学家分别在1833年和1835年给出证明.现在我们来尝试用平面图形拼接空间图形,使它们的全面积都与原平面图形的面积相等:(1)给出两块相同的正三角形纸片(如图1、图2),其中图1,沿正三角形三边中点连线折起,可拼得一个正三棱锥;图2,正三角形三个角上剪出三个相同的四边形(阴影部分),其较长的一组邻边边长为三角形边长的
,有一组对角为直角,余下部分按虚线折起,可成一个缺上底的正三棱柱,而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱锥的上底.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/5/16/4e5e0ba9-486a-44e2-8f5e-79e24ae11e6c.png?resizew=514)
(1)试比较图1与图2剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小;
(2)如果给出的是一块任意三角形的纸片(如图3),要求剪拼成一个直三棱柱模型,使它的全面积与给出的三角形的面积相等.请仿照图2设计剪拼方案,用虚线标示在图3中,并作简要说明.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/56d266a04f3dc7483eddbc26c5e487db.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/5/16/4e5e0ba9-486a-44e2-8f5e-79e24ae11e6c.png?resizew=514)
(1)试比较图1与图2剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小;
(2)如果给出的是一块任意三角形的纸片(如图3),要求剪拼成一个直三棱柱模型,使它的全面积与给出的三角形的面积相等.请仿照图2设计剪拼方案,用虚线标示在图3中,并作简要说明.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/5/16/227158b0-5f51-435e-9522-6b3ddcde2bcc.png?resizew=160)
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2 . 如图:在正方体
中
,
为
的中点.
的体积;
(2)求证:
平面
;
(3)若
为
的中点,求证:平面
平面
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6e09725691ee7851f54c0dee86b2bf55.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fcd0ced286a0fbc7e4862f8147264277.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ac047e91852b91af639feec23a9598b2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/22adbc0da438220f9cace11b629d799b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f5d90f940f5693b22ddf2e7c761887d8.png)
(2)求证:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0f11f1840eb8b17e7b07c3fe7e987a9c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/53bdef2e7a7929ad6190302ab44c46c0.png)
(3)若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/54a5d7d3b6b63fe5c24c3907b7a8eaa3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9d88bf46ad08f9677c37eed1d0369329.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/920f9a182ba419efef8fb4a791c60fee.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5ef06a52945f8a26a4df410a777d79b7.png)
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2023-05-02更新
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9526次组卷
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17卷引用:安徽省亳州市第二完全中学2023-2024学年高一下学期第二次月考(5月)数学试题
安徽省亳州市第二完全中学2023-2024学年高一下学期第二次月考(5月)数学试题天津市五所重点学校2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题(已下线)专题训练:线线、线面、面面平行证明(已下线)第06讲 立体几何位置关系及距离专题期末高频考点题型秒杀山东省聊城市聊城第四中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题宁夏吴忠市吴忠中学2022-2023学年高一下学期数学期末考试练习试题(已下线)第07讲 立体几何大题(11个必刷考点)-《考点·题型·密卷》(已下线)模块三 专题8(立体几何初步)拔高能力练(北师大版)(已下线)模块三 专题7 大题分类练(立体几何初步)拔高能力练(人教A)(已下线)模块三 专题8大题分类练(立体几何初步)拔高能力练(苏教版)(已下线)模块五 专题1 全真基础模拟1(苏教版高一)江苏省徐州市邳州市明德实验学校2022-2023学年高一下学期第二次月考数学试题山东省烟台市爱华学校2022-2023学年高一下学期第二次月中质量检测数学试题重庆市荣昌中学校2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题广东省深圳市南头中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷天津市第四十七中学2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题山东省聊城市第一中学2023-2024学年高一下学期第二次阶段测试数学试题
3 . 如图所示,现有一张边长为
的正三角形纸片ABC,在三角形的三个角沿图中虚线剪去三个全等的四边形
,
,
(剪去的四边形均有一组对角为直角),然后把三个矩形
,
,
折起,构成一个以
为底面的无盖正三棱柱.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/5/4/579ea15e-2275-498f-9372-33bb1e768328.png?resizew=171)
(1)若所折成的正三棱柱的底面边长与高之比为3,求该三棱柱的高;
(2)求所折成的正三棱柱的表面积为
,求该三棱柱的体积.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cdb26c5cdef6f16f4b39cd091041b439.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9b6e12f10fb9547f91fa055667d44cb3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/698652bebc18c54983503d0a5ddb0bb0.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/813c279752688a5b0973b93812e35d9a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a16460e02999d0f8c2174df3c0cd21fa.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/25a6c0a9cd5dfdca74cdcf9186bde58e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0b9c45578c43f597584d1b38730917e0.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/99b16cff607cdc2d69afc70dc778acbb.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/5/4/579ea15e-2275-498f-9372-33bb1e768328.png?resizew=171)
(1)若所折成的正三棱柱的底面边长与高之比为3,求该三棱柱的高;
(2)求所折成的正三棱柱的表面积为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7a554e03744b5befe9e0939377dafa8a.png)
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2023-04-27更新
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418次组卷
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2卷引用:安徽省合肥市第八中学2022-2023学年高一下学期期中检测数学试题
名校
4 . 如图,在菱形
中,
,
,将
沿对角线
翻折到
位置,连接
,构成三棱锥
.设直线
和直线
所成角为
.
(1)求证:
;
(2)当
取最小值时,求三棱锥
的体积.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/411b38a18046fea8e9fab1f9f9b80a5f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fcd0ced286a0fbc7e4862f8147264277.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f945a69cf7e8213e50622125cde652f5.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ab2a2834d80ff574e79eae8ca8d4e94f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d40b319212a7e7528b053e1c7097e966.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/acee03d4bb4667b6c345221b6c9b0fa4.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/48f3c9abbd78e9a6840ee5f30381daac.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/08a9ec3b527947cad9caa4537e0cb7e7.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d2be49c37e30a3ced0364c3e74d8c687.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9d78abbad68bbbf12af10cd40ef4c353.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e170f206fdbbd834aad7580c727e2cc6.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/8/31/9a5f9045-5a46-44ee-a3d0-14791763be33.png?resizew=347)
(1)求证:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8e4125524caac016727c80d2722c5ba3.png)
(2)当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f3a282d19bf2c827a98d4443330f7ca1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/08a9ec3b527947cad9caa4537e0cb7e7.png)
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名校
解题方法
5 . 如图,长方体
中,
、
与底面所成的角分别为60°和45°,且
,点P为线段
上一点.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/11/17/625bfef1-85de-4442-9557-6c600807d3dc.jpg?resizew=154)
(1)求长方体
的体积;
(2)求
最小值.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6e09725691ee7851f54c0dee86b2bf55.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d7f6f93171329d508d491143b9d71f7b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/93ecad355286188fd317939fa50f9555.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8f8febde8c40c105e71e3c2d61a91523.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d7f6f93171329d508d491143b9d71f7b.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/11/17/625bfef1-85de-4442-9557-6c600807d3dc.jpg?resizew=154)
(1)求长方体
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6e09725691ee7851f54c0dee86b2bf55.png)
(2)求
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/09dc44f32a06762871bd4f5f97129995.png)
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2022-11-16更新
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441次组卷
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2卷引用:安徽师范大学附属中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题
名校
解题方法
6 . 如图,三棱柱
的棱长均为2,且
.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/10/15/41be32ca-f67b-48c4-a0f8-1a3e7d341e8a.png?resizew=205)
(1)求证:侧面
为正方形;
(2)求
到侧面
的距离.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/42d3a82b8e587ee890467835bc4e854c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cc2106309ce73b6cfc480fe0389c1c9f.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/10/15/41be32ca-f67b-48c4-a0f8-1a3e7d341e8a.png?resizew=205)
(1)求证:侧面
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a3f84d1ed2ff6f93bf229c738c58c15c.png)
(2)求
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e17230625e72d3a9c6d72ff61019ff61.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a3f84d1ed2ff6f93bf229c738c58c15c.png)
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7 . 边长为1的正方体
中,E为
的中点.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/3/1/941d525d-39ef-470c-a0d2-273bbcdbda22.png?resizew=157)
(1)求异面直线BE和
所成角的正切值.
(2)求三棱锥
的体积.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/24bb49fdc6b6bbb2449fdf8a0de769d3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9d88bf46ad08f9677c37eed1d0369329.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/3/1/941d525d-39ef-470c-a0d2-273bbcdbda22.png?resizew=157)
(1)求异面直线BE和
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/22adbc0da438220f9cace11b629d799b.png)
(2)求三棱锥
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/50ea1efba56e577f2a289b4be22bbc73.png)
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2023-02-28更新
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463次组卷
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4卷引用:安徽省安庆九一六学校2022-2023学年高一下学期第四次调研考试数学试题
安徽省安庆九一六学校2022-2023学年高一下学期第四次调研考试数学试题四川省成都市盐道街中学2020-2021学年高一下学期6月月考文科数学试题(已下线)8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系(1)-2022-2023学年高一数学《考点·题型·技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019必修第二册)(已下线)核心考点06空间点、直线、平面的位置关系-【满分全攻略】2022-2023学年高一数学下学期核心考点+重难点讲练与测试(人教A版2019必修第二册)
名校
解题方法
8 . 如图,在正四棱柱
中,底面
的边长为2,侧棱
,
是棱
的中点,
是
与
的交点.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/1/28/2ea025f3-6955-427e-b18e-d83cd4ddb6cc.png?resizew=195)
(1)求证:
平面
;
(2)求三棱锥
的体积.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6e09725691ee7851f54c0dee86b2bf55.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/411b38a18046fea8e9fab1f9f9b80a5f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ad1a56baf43ffdf67bc8460856e31fec.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2a30f3a8b673cc28bd90c50cf1a35281.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0dc5c9827dfd0be5a9c85962d6ccbfb1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a0ed1ec316bc54c37c4286c208f55667.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f2eb89294b31ffdd2680b4361e8994d7.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/554b3b4c5ce7aca81becc07ed4903736.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/1/28/2ea025f3-6955-427e-b18e-d83cd4ddb6cc.png?resizew=195)
(1)求证:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0f11f1840eb8b17e7b07c3fe7e987a9c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fb5a463a03c549b0dba6d90e7f16a2af.png)
(2)求三棱锥
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c38269b7039554dab12bc5c921b4aeeb.png)
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2023-01-11更新
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3818次组卷
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8卷引用:安徽省合肥市六校联考2022-2023学年高一下学期期末教学质量检测数学试卷
安徽省合肥市六校联考2022-2023学年高一下学期期末教学质量检测数学试卷陕西省渭南市韩城市新蕾中学2021-2022学年高二上学期第四次月考文科数学试题第8章 立体几何初步 章末测试(基础)-2022-2023学年高一数学一隅三反系列(人教A版2019必修第二册)(已下线)8.5.2 直线与平面平行(精讲)-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教A版2019必修第二册)内蒙古呼伦贝尔市满洲里远方中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题山西省运城市景胜中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题(A卷)广东省深圳市富源学校2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题陕西省榆林市第十中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题
解题方法
9 . 如图,在三棱柱
中,
为
的中点,
,
,
.
(1)证明:
平面
;
(2)若
的外接圆半径为
,
,求三棱锥
的体积.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/42d3a82b8e587ee890467835bc4e854c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1dde8112e8eb968fd042418dd632759e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f52a58fbaf4fea03567e88a9f0f6e37e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3d89ba4036a5d18ec4abed44d7fd8e89.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1baa3d0db9ad31d33c2883a6efed1dc7.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dc74aabd23796e7aa56fb0b6b1ff7bf7.png)
(1)证明:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/21f9157fce2a8339d281178c7c0bccbe.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1eddaf3f33bd9a99162c061c9dd99aee.png)
(2)若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/15c0dbe3c080c4c4636c64803e5c1f76.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/18483c9c195ecd922772527fa85c0fcb.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9c0f94f5c7ef7d7cafaeef1ff3a7ac70.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f1af34cbac55c5937c2dbacaa5f434d0.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2022/7/28/3032184793858048/3032957836025856/STEM/34a8ed680ae64fa08a69829296c9c4f2.png?resizew=282)
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名校
解题方法
10 . 已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上,其中△ABC是边长为1的正三角形,棱
为球O的直径.求此三棱锥的体积.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/672ec1169bab663781450d42f39ffe6f.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/11/28/f74f910b-a885-4077-89a6-8cb5200b2ee8.png?resizew=170)
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2022-11-26更新
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416次组卷
|
3卷引用:安徽师范大学附属中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题
安徽师范大学附属中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题四川省巴中市南江县小河职业中学2020-2021学年高三下学期期末数学试题(已下线)高一数学下学期期中精选50题(基础版)-2021-2022学年高一数学考试满分全攻略(人教A版2019必修第二册)(原卷版)