1 . 已知椭圆：的左、右焦点分别为．
(1)是椭圆上的一点，从原点O向圆R：作两条切线，分别交椭圆于P，Q两点且有OP⊥OQ，求椭圆的方程；
(2)在（1）的条件下，过作不平行于坐标轴的直线交于A，B两点，若AM⊥x轴于点M，BN⊥x轴于点N，直线AN与BM交于点C，求△ABC面积的最大值．

2 . 已知动点与点的距离和到直线的距离之比为，记的轨迹为曲线．曲线交轴于两点，为直线上的动点，直线分别与曲线交于两点．
(1)求的方程，并说明是什么曲线；
(2)证明：直线过定点．

3 . 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e =，经过点P（2，3）．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点Q与点P关于x轴对称，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．
①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；
②当A、B运动时，满足于∠APQ =∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，说明理由．

4 . 已知椭圆的左右焦点，分别是双曲线的左右顶点，且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为．

(1)求椭圆的方程；
(2)设P是第一象限内上的一点，、的延长线分别交于点、，设、分别为、的内切圆半径，求的最大值．

5 . P为圆上一动点，点的坐标为，线段的垂直平分线交直线于点．
(1)求点的轨迹方程；
(2)在（1）中曲线与轴的两个交点分别为和，、为曲线上异于、的两点，直线不过坐标原点，且不与坐标轴平行．点关于原点的对称点为，若直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，证明：在曲线上存在定点，使得的面积为定值，并求该定值．

6 . 已知椭圆的离心率为，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合．

(1)求椭圆的方程；
(2)如图，、是椭圆的左、右顶点，过点且斜率不为的直线交椭圆于点、，直线与直线交于点．记、、的斜率分别为、、，是否存在实数，使得？

7 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（       ）

A．的最小值为

B．椭圆的短轴长可能为2

C．椭圆的离心率的取值范围为

D．若，则椭圆的长半轴长为

8 . 在平面直角坐标系xOy中，动圆P与圆：内切，且与圆：外切，记动圆P的圆心的轨迹为E．
(1)求轨迹E的方程；
(2)过圆心的直线交轨迹E于A，B两个不同的点，过圆心的直线交轨迹E于D，G两个不同的点，且，求四边形ADBG面积的最小值．

9 . 如图，已知椭圆的左、右顶点分别是，且经过点， 直线 恒过定点且交椭圆于两点，为的中点.

(1)求椭圆的标准方程;
(2)记的面积为S，求S的最大值.

10 . 已知C：的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，过椭圆左焦点作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于M、N两点，直线m的方程为：，过点M作垂直于直线m交直线m于点E.
(1)求椭圆C的标准方程：
(2)①若线段EN必过定点P，求定点P的坐标；
②点O为坐标原点，求面积的最大值.