1 . 已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于不同的，两点，且直线，，的斜率依次成等比数列．椭圆上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

2 . 已知椭圆C：的一个焦点坐标为，离心率，
(1)求椭圆C的方程；
(2)设O为坐标原点，椭圆C与直线相交于两个不同的点A、B，线段AB的中点为M．若直线OM的斜率为，求线段AB的长．

3 . 已知椭圆的两个焦点为，，M是椭圆上一点，若，且，则该椭圆的方程是______．

4 . 定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”．
如图，为椭圆的“共轭点对”，已知，且点在直线上，直线过原点．
   
(1)求直线的方程；
(2)已知是椭圆上的两点，为坐标原点，且．
（i）求证：线段被直线平分；
（ii）若点在第二象限，直线与相交于点，点为的中点，求面积的最大值．

5 . 已知椭圆C：的离心率为，长轴长与短轴长的和为6，、分别为椭圆C的左、右焦点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P为椭圆C上一点，．若，求实数λ的取值范围．

6 . 17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示.四根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形.带槽杆长为，点，间的距离为2，转动杆一周的过程中始终有.点M在线段的延长线上，且.

   

(1)建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点E的轨迹Γ的方程；
(2)过点的直线与Γ交于A、B两点.记直线MA、MB的斜率为、，证明：为定值.

7 . 在直角坐标系xOy中，椭圆C：的焦距为，长轴长是短轴长的2倍，斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于A、B．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若P为线段AB的中点，设OP的斜率为，求证：为定值．

8 . 已知两点、，设圆O：与x轴交于A、B两点，且动点P满足：以线段为直径的圆与圆O相内切，如图所示，记动点P的轨迹为Γ，过点且与x轴不重合的直线l与轨迹Γ交于M、N两点．

(1)求轨迹Γ的方程；
(2)设线段的中点为Q，直线与直线相交于点R，求证：．

9 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知直线与椭圆相切，与圆相交于两点，设为圆上任意一点，求的面积最大时直线的斜率．

10 . 已知结论：椭圆的面积为．如图，一个平面斜截一个足够高的圆柱，与圆柱侧面相交的图形为椭圆．若圆柱底面圆半径为，平面与圆柱底面所成的锐二面角大小为，则下列对椭圆的描述中，错误的是（       ）

A．短轴为，且与大小无关	B．离心率为，且与大小无关
C．焦距为	D．面积为