1 . 已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点
(1)求抛物线的方程；
(2)若点在抛物线上，且的重心在轴上，求当点到距离最小时，直线的方程.

2 . 如图，是抛物线：的焦点，过的直线交抛物线于，两点，点在第一象限，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点的右侧．记，的面积分别为，．已知点在抛物线上．

(1)求抛物线的方程；
(2)设点纵坐标为，试用表示点的横坐标；
(3)在（2）的条件下，求的最小值及此时点的坐标．

3 . 在平面直角坐标系中，动圆M与圆相内切，且与直线相切，记动圆圆心M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过点的直线l与曲线C交于A，B两点，分别以A，B为切点作曲线C的切线，直线相交于点P．若，求直线l的方程．

4 . 如图，已知点A是抛物线在第一象限上的点，F为抛物线的焦点，且垂直于x轴．过A作圆的两条切线，与抛物线在第四象限分别交于M，N两点，且直线的斜率为4．

(1)求抛物线的方程及A点坐标；
(2)问：直线是否经过定点？若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由．

5 . 已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线C交于点P..
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F的直线与C交于A，B两点，与圆交于D，E两点，若，求直线的方程，

6 . 已知抛物线的焦点为，抛物线上一点到点的距离为．
(1)求抛物线的方程及点的坐标；
(2)设斜率为的直线过点且与抛物线交于不同的两点、，若且，求斜率的取值范围．

7 . 已知点，点P在抛物线上运动，点B在曲线上运动，则的最小值是___________．

8 . 已知抛物线的焦点为，为抛物线上的动点，为在准线上的投影，当为等边三角形时，其面积为，过抛物线的焦点且斜率为的直线与该抛物线相交于，两点，点是线段的中点.
(1)求抛物线的方程；
(2)若焦点在轴上的椭圆经过点，求椭圆的短轴长的取值范围.

9 . 已知抛物线C₁：与椭圆C₂：（）有公共的焦点，C₂的左､右焦点分别为F₁，F₂，该椭圆的离心率为.

(1)求椭圆C₂的方程；
(2)如图，若直线l与x轴，椭圆C₂顺次交于P，Q，R（P点在椭圆左顶点的左侧），且∠PF₁Q与∠PF₁R互为补角，求△F₁QR面积S的最大值.

10 . 已知抛物线E：（）上一点Q到其焦点的距离为.
(1)求抛物线E的方程，
(2)设点P在抛物线E上，且，过P作圆C：的两条切线，分别与抛物线E交于点M，N（M，N两点均异于P）.证明：直线MN经过R.