1 . 已知椭圆经过点，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆的左、右两个顶点分别为，为直线上的动点，且不在轴上，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，为椭圆的左焦点，求证：的周长为定值．

2 . 已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过定点的直线与椭圆相交于、两点，已知点，设直线、的斜率分别为，求证：．

3 . 已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在y轴上，F₁，F₂为C的两个焦点，C的短轴长为4，且C上存在一点P，使得，写出C的一个标准方程：___________.

4 . 已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上，是椭圆上的两个不同点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线的斜率之积为，点满足（为坐标原点），直线与椭圆的另一个交点为（与不重合），若，求的值.

5 . 已知双曲线：上异于顶点的任一点与其两个顶点的连线的斜率之积为.
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）椭圆：的离心率等于，过椭圆上任意一点作两条与双曲线的渐近线平行的直线，交椭圆于，两点，若，求椭圆的方程.

6 . 已知椭圆过点，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若为椭圆的左顶点，直线过右焦点与椭圆交于，两点（，与不重合），不与轴垂直，若，求．

7 . 已知椭圆C：上的点到焦点的最大距离为3，最小距离为1
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C右焦点F₂，作直线l与椭圆交于A，B两点（A，B不为长轴顶点），过点A，B分别作直线x=4的垂线，垂足依次为E，F，且直线AF，BE相交于点G．
①证明：G为定点；
②求△ABG面积的最大值．

8 . 设O是坐标原点，以为焦点的椭圆的长轴长为，以为直径的圆和C恰好有两个交点，
（1）求C的方程；
（2）P是C外的一点，设其坐标为，过P的直线均与C相切，且的斜率之积为，记u为的最小值，求u的取值范围．

9 . 已知椭圆，点为焦点，过且垂直于轴的直线交椭圆于S，T两点，且，点为x轴上一点，直线与椭圆C交于不同的两点A，B.
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线PA、PB分别交y轴于M、N两点，O为坐标系原点，问：x轴上是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

10 . 已知椭圆：的离心率为，椭圆的左､右焦点分别为，，点，且的面积为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆相交于，两点，直线，的斜率分别为，，当最大时，求直线的方程.