1 . 一动圆与圆外切，同时与圆内切，动圆圆心的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)点为上一动点，点为坐标原点，曲线的右焦点为，求的最小值.

2 . 已知椭圆经过两点.
(1)求的方程；
(2)设为的上顶点，过点且斜率为的直线与相交于两点，且点在点的下方，点在线段上，若，证明：.

3 . 已知动圆与圆外切，与圆内切．
(1)求动圆圆心的轨迹方程；
(2)求的取值范围．

4 . 已知的周长为．
(1)求点的轨迹方程；
(2)若，求的面积．

5 . 已知椭圆的长轴长为4，且点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆的右焦点作不与两坐标轴重合的直线，与交于不同的两点，，线段的中垂线与轴相交于点，求（为原点）的最小值，并求此时直线的方程.

6 . 已知椭圆的左、右焦点为，，离心率为．点P是椭圆C上不同于顶点的任意一点，射线、分别与椭圆C交于点A、B，的周长为8．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若，，求证：为定值．

7 . 已知椭圆的焦点在轴上，且过点，焦距为，设为椭圆上的一点，、是该椭圆的两个焦点，若，求：
(1)椭圆的标准方程
(2)的面积．

8 . 设椭圆过点，离心率为.
(1)求的标准方程；
(2)若过点且斜率为1的直线与交于两点，求线段中点的坐标.

9 . 如图，已知平行四边形ABCD与椭圆相切，且，，，.
   
(1)求椭圆的方程；
(2)若点是椭圆上位于第一象限一动点，且点处的切线与AB，AD分别交于点E，F.证明：为定值.

10 . 已知椭圆的右焦点为，上顶点为，，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆相交于两点，且点，当的面积最大时，求直线的方程．