1 . 如图，已知椭圆的右焦点为，上顶点为，右顶点为．
   
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点P是椭圆C上异于的一点，且直线PA、PB分别与y轴和x轴交于点，求证：为定值．

2 . 经过椭圆的左焦点作倾斜角为45°的直线，直线与椭圆相交于两点，是椭圆的右焦点.
(1)求的周长.
(2)求的长.

3 . 椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为点、、在椭圆上，且．
(1)求椭圆的方程及直线的斜率；
(2)当时，证明原点是的重心，并求直线的方程．

4 . 已知椭圆，过椭圆的上顶点与右顶点的直线，与圆相切，且椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合；
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作两条互相垂直的射线与椭圆分别交于两点，求面积的最小值．

5 . 已知椭圆：上的点到左、右焦点，的距离之和为4.
(1)求椭圆的方程.
(2)若在椭圆上存在两点，，使得直线与均与圆相切，问：直线的斜率是否为定值?若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由.

6 . 已知椭圆与直线有且只有一个交点，点，分别为椭圆的上顶点和右焦点，且.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线不经过点且与椭圆交于M，N两点，当直线，的斜率之和为时，求证：直线过定点.

7 . 已知椭圆的焦距为2，离心率.
(1)求的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于A，B两点，若，求的方程.

8 . 如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，线段的中点为.（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合.）

(1)求动点的轨迹的方程；
(2)已知点，为轨迹上异于的两点，且，判断直线是否过定点，若过定点，求出该定点坐标.若不过定点，说明理由.

9 . 已知椭圆的上顶点为A，左、右焦点分别为、，三角形的周长为6，面积为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知点M是椭圆C外一点，过点M所作椭圆的两条切线互相垂直，求三角形面积的最大值．

10 . 已知M，N两点的坐标分别为，直线MQ，NQ相交于点Q，且它们的斜率之积为．
(1)求点Q的轨迹方程；
(2)设过点的直线l与点Q的轨迹交于D，E两点，问在x轴上是否存在定点P，使得为常数？若存在，求出点P的坐标以及该常数的值；若不存在，请说明理由．