2024·全国·模拟预测
解题方法
1 . 已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，左、右顶点分别为
，
，椭圆
以，为焦点，以
为长轴．
(1)求椭圆的离心率；
(2)设点
满足
，过
且与双曲线
的渐近线平行的两直线分别交于点
，
，过且与
平行的直线交的渐近线于点
，
．证明：
为定值，并求出此定值．
的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，椭圆以，为焦点，以为长轴．(1)求椭圆
的离心率；(2)设点
满足，过且与双曲线的渐近线平行的两直线分别交于点，，过且与平行的直线交的渐近线于点，．证明：为定值，并求出此定值．
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解题方法
2 . 已知复平面上的点
对应的复数
满足
，设点的运动轨迹为
．点
对应的数是0．
(1)证明是一个双曲线并求其离心率
；
(2)设的右焦点为
，其长半轴长为
，点到直线
的距离为
（点在的右支上），证明：
；
(3)设的两条渐近线分别为
，过分别作的平行线
分别交
于点
，则平行四边形
的面积是否是定值？若是，求该定值；若不是，说明理由．
对应的复数满足，设点的运动轨迹为．点对应的数是0．(1)证明
是一个双曲线并求其离心率；(2)设
的右焦点为，其长半轴长为，点到直线的距离为（点在的右支上），证明：；(3)设
的两条渐近线分别为，过分别作的平行线分别交于点，则平行四边形的面积是否是定值？若是，求该定值；若不是，说明理由．
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3 . 已知双曲线
的一条渐近线方程为
，且虚轴长为2．
(1)求双曲线
的标准方程；(2)若动直线
与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，
为坐标原点，证明：
的面积为定值．
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解题方法
4 . 已知双曲线
（
，
）的左顶点为
，过点
的动直线l交C于P，Q两点（均不与A重合），当l与x轴垂直时，
.
(1)求C的方程；
(2)若直线AP和AQ分别与直线
交于点M和N，证明：
为定值.
（，）的左顶点为，过点的动直线l交C于P，Q两点（均不与A重合），当l与x轴垂直时，.(1)求C的方程；
(2)若直线AP和AQ分别与直线
交于点M和N，证明：为定值.
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名校
解题方法
5 . 已知
分别为双曲线
的左、右焦点，是该双曲线右支上一点，
是线段
的中点，
分别为双曲线的左、右顶点，
.
(1)求双曲线的方程；
(2)过作直线交双曲线于
（与顶点不同），直线
交于，求证：点在定直线上，并求直线方程.
分别为双曲线的左、右焦点，是该双曲线右支上一点，是线段的中点，分别为双曲线的左、右顶点，.(1)求双曲线
的方程；(2)过
作直线交双曲线于（与顶点不同），直线交于，求证：点在定直线上，并求直线方程.
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名校
解题方法
6 . 已知双曲线
的实轴长为4，离心率为
．过点
的直线l与双曲线C交于A，B两点．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知点
，若直线QA，QB的斜率均存在，试问其斜率之积是否为定值？请给出判断与证明．
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2023-10-19更新
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1212次组卷
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6卷引用：江西省南昌市江西师范大学附属中学2024届高三上学期数学素养测试试题
江西省南昌市江西师范大学附属中学2024届高三上学期数学素养测试试题（已下线）考点16 解析几何中的定值问题 2024届高考数学考点总动员【练】（已下线）考点19 解析几何中的探索性问题 2024届高考数学考点总动员四川省眉山市仁寿县第一中学2023-2024学年高二上学期期末模拟考试数学试题（已下线）专题25 双曲线的简单几何性质9种常见考法归类（2）（已下线）专题12 双曲线的几何性质8种常见考法归类（3）
解题方法
7 . 已知双曲线的两条渐近线分别为
和
，右焦点坐标为
为坐标原点.
(2)直线
与双曲线的右支交于点
（在
的上方），过点分别作
的平行线，交于点
，过点且斜率为4的直线与双曲线交于点
（在
的上方），再过点分别作的平行线，交于点
，这样一直操作下去，可以得到一列点
.
证明：①
共线；
②
为定值
.
的两条渐近线分别为和，右焦点坐标为为坐标原点.
(2)直线
与双曲线的右支交于点（在的上方），过点分别作的平行线，交于点，过点且斜率为4的直线与双曲线交于点（在的上方），再过点分别作的平行线，交于点，这样一直操作下去，可以得到一列点.证明：①
共线；②
为定值.
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名校
解题方法
8 . 已知椭圆C：
的长轴为双曲线
的实轴，且椭圆C过点
.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点A，B是椭圆C上异于点P的两个不同的点，直线PA与PB的斜率均存在，分别记为
，且
，
①求证：直线AB恒过定点，并求出定点的坐标；
②当坐标原点O到直线AB的距离最大时，求直线AB的方程.
的长轴为双曲线的实轴，且椭圆C过点.(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点A，B是椭圆C上异于点P的两个不同的点，直线PA与PB的斜率均存在，分别记为
，且，①求证：直线AB恒过定点，并求出定点的坐标；
②当坐标原点O到直线AB的距离最大时，求直线AB的方程.
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2022-09-23更新
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786次组卷
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3卷引用：河南省漯河市高级中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学（文）试题
9 . 已知双曲线
，直线交双曲线于两点.
（1）求双曲线的顶点到其渐近线的距离；
（2）若过原点，为双曲线上异于的一点，且直线
的斜率
均存在，求证：
为定值；
（3）若过双曲线的右焦点，是否存在
轴上的点
，使得直线绕点无论怎样转动，都有
成立？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.
，直线交双曲线于两点.（1）求双曲线
的顶点到其渐近线的距离；（2）若
过原点，为双曲线上异于的一点，且直线的斜率均存在，求证：为定值；（3）若
过双曲线的右焦点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.
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