解题方法
1 . 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，阿波罗尼斯圆指的是已知动点
与两定点
的距离之比
且
是一个常数，那么动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线
上．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为
，定点分别为椭圆
的上顶点与右顶点，且椭圆
的离心率为
．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点
，过点
斜率分别为
的直线与椭圆的另一个交点分别为
，且满足
，试探究
面积是否存在最大值，若存在，求出直线
的方程；若不存在，请说明理由．
与两定点的距离之比且是一个常数，那么动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线上．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点分别为椭圆的上顶点与右顶点，且椭圆的离心率为．(1)求椭圆
的标准方程；(2)已知点
，过点斜率分别为的直线与椭圆的另一个交点分别为，且满足，试探究面积是否存在最大值，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
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解题方法
2 . 在平面直角坐标系
中，已知椭圆
的左焦点为
，过点
且与
轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为
．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知直线
与椭圆相切，与圆
相交于
两点，设
为圆
上任意一点，求
的面积最大时直线的斜率．
中，已知椭圆的左焦点为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．(1)求椭圆
的标准方程；(2)已知直线
与椭圆相切，与圆相交于两点，设为圆上任意一点，求的面积最大时直线的斜率．
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2024-05-14更新
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682次组卷
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5卷引用：压轴题05 直线与圆锥曲线的位置关系-【常考压轴题】（人教B版2019选择性必修第一册）
（已下线）压轴题05 直线与圆锥曲线的位置关系-【常考压轴题】（人教B版2019选择性必修第一册）山东省日照市2024届高三下学期校际联考（二模）数学试题（已下线）湖南省益阳市2024届高三下学期5月适应性考试数学试题广东省韶关市乐昌市第二中学2024届高三下学期保温测试（5月模拟）数学试题河南省信阳市新县高级中学2025届高三上学期适应性考试（一）数学试题
3 . 已知椭圆
的离心率为，中心是坐标原点，焦点在轴上，右焦点为F，A、B分别是的上、下顶点.的短半轴长是圆的半径，点是圆上的动点，且点不在
轴上，延长BM与交于点
的取值范围为
.
(1)求椭圆、圆的方程;
(2)当直线BM经过点时，求
的面积;
(3)记直线AM、AN的斜率分别为
，证明:
为定值.
的离心率为，中心是坐标原点，焦点在轴上，右焦点为F，A、B分别是的上、下顶点.的短半轴长是圆的半径，点是圆上的动点，且点不在轴上，延长BM与交于点的取值范围为.(1)求椭圆
、圆的方程;(2)当直线BM经过点
时，求的面积;(3)记直线AM、AN的斜率分别为
，证明:为定值.
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4 . 已知A，B为椭圆：
上两个不同的点（直线
与y轴不平行），F为C的右焦点，且
，若线段的垂直平分线交x轴于点P，则
（ ）
：上两个不同的点（直线与y轴不平行），F为C的右焦点，且，若线段的垂直平分线交x轴于点P，则（ ）A． | B． | C． | D． |
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5 . 在平面直角坐标系中，为坐标原点，动点
到定点
的距离和它到定直线
的距离之比是常数
，设动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点
的直线与曲线相交于点A，B(不在x轴上)，记线段AF的中点为，连接PO，并延长PO交曲线于点
，求
与
的面积之和的取值范围.
为坐标原点，动点到定点的距离和它到定直线的距离之比是常数，设动点的轨迹为曲线.(1)求曲线
的方程；(2)过点
的直线与曲线相交于点A，B(不在x轴上)，记线段AF的中点为，连接PO，并延长PO交曲线于点，求与的面积之和的取值范围.
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2024-05-12更新
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658次组卷
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5卷引用：专题9 圆锥曲线中的范围、最值问题（二）【讲】（压轴大全）
（已下线）专题9 圆锥曲线中的范围、最值问题（二）【讲】（压轴大全）陕西省西安市第一中学2024届高三下学期模拟考试数学（文科）试题陕西省西安市鄠邑区第二中学2024届高三模拟考试文科数学试卷重庆市永川北山中学校2024届高三下学期高考预测卷（最后一套）数学试题广西南宁市第三十六中学2024届高三下学期适应性训练数学试题
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解题方法
6 . 对于椭圆
，令
，
，那么在坐标系
中，椭圆经伸缩变换得到了单位圆
，在这样的伸缩变换中，有些几何关系保持不变，例如点、直线、曲线的位置关系以及点分线段的比等等；而有些几何量则等比例变化，例如任何封闭图形在变换后的面积变为原先的
，由此我们可以借助圆的几何性质处理一些椭圆的问题．
(1)在原坐标系中斜率为k的直线l，经过，的伸缩变换后斜率变为
，求k与满足的关系；
(2)设动点P在椭圆
上，过点P作椭圆
的切线，与椭圆
交于点Q，R，再过点Q，R分别作椭圆
的切线交于点S，求点S的轨迹方程；
(3)点
）在椭圆
上，求椭圆上点B，C的坐标，使得△ABC的面积取最大值，并求出该最大值．
，令，，那么在坐标系中，椭圆经伸缩变换得到了单位圆，在这样的伸缩变换中，有些几何关系保持不变，例如点、直线、曲线的位置关系以及点分线段的比等等；而有些几何量则等比例变化，例如任何封闭图形在变换后的面积变为原先的，由此我们可以借助圆的几何性质处理一些椭圆的问题．(1)在原坐标系中斜率为k的直线l，经过
，的伸缩变换后斜率变为，求k与满足的关系；(2)设动点P在椭圆
上，过点P作椭圆的切线，与椭圆交于点Q，R，再过点Q，R分别作椭圆的切线交于点S，求点S的轨迹方程；(3)点
）在椭圆上，求椭圆上点B，C的坐标，使得△ABC的面积取最大值，并求出该最大值．
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解题方法
7 . 如图：已知三点、
、都在椭圆
上．、、都是椭圆的顶点，求
的面积；
(2)若直线的斜率为1，求弦中点的轨迹方程；
(3)若直线的斜率为2，设直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，是否存在定点，使得
恒成立？若存在，求出所有满足条件的点，若不存在，说明理由．
、、都在椭圆上．
、、都是椭圆的顶点，求的面积；(2)若直线
的斜率为1，求弦中点的轨迹方程；(3)若直线
的斜率为2，设直线的斜率为，直线的斜率为，是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出所有满足条件的点，若不存在，说明理由．
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8 . 已知椭圆
的左、右焦点分别为
为椭圆上不与顶点重合的任意一点，I为
的内心，记直线
的斜率分别为，若
，则椭圆E的离心率为__________ ．
的左、右焦点分别为为椭圆上不与顶点重合的任意一点，I为的内心，记直线的斜率分别为，若，则椭圆E的离心率为
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2024-05-05更新
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1060次组卷
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3卷引用：专题07 椭圆的标准方程与几何性质六种考法-【常考压轴题】（苏教版2019选择性必修第一册）
（已下线）专题07 椭圆的标准方程与几何性质六种考法-【常考压轴题】（苏教版2019选择性必修第一册）2024年新高考Ⅰ卷浙大优学靶向精准模拟数学试题（六）湖南省长沙市第一中学2024届高考适应性演练(三）数学试题
9 . 已知椭圆
分别为椭圆的左顶点和右焦点，过作斜率不为
的直线交椭圆于点，
两点，且
.当直线
轴时，
.的方程；
(2)设直线
的斜率分别为，问
是否为定值?并证明你的结论；
(3)直线
交轴于点，若过点作直线的平行线
交椭圆于点，求
的最小值.
分别为椭圆的左顶点和右焦点，过作斜率不为的直线交椭圆于点，两点，且.当直线轴时，.
的方程；(2)设直线
的斜率分别为，问是否为定值?并证明你的结论；(3)直线
交轴于点，若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值.
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，
，椭圆上有一点
，过点
的直线
的面积的最大值；
交于点
，记
，
，
的斜率分别为
，
，
，证明：
为定值．
