1 . 已知椭圆C：的长轴长为4，且离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点且斜率为k的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点D.求证：为定值.

2 . 已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,短轴长为,离心率为
(1)求椭圆的方程;
(2)一条动直线与椭圆交于不同两点为坐标原点,的面积为,求证:为定值.

3 . 已知在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，过焦点的直线与椭圆交于两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)从下面两个条件中任选其一作为已知，证明另一个成立：
①；②直线的斜率满足：.

4 . 已知椭圆的一个顶点为，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，过原点的直线交椭圆于两点.若，求证：为定值.

5 . 已知椭圆，过点的直线交椭圆于两点.
(1)证明：；
(2)已知两点.记直线的斜率为，直线的斜率为，求的值.

6 . 已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是．

7 . 曲线C上任一点到点，距离之和为，点是曲线C上一点，直线l过点P且与直线垂直，直线l与x轴交于点Q.
（I）求曲线C的方程及点Q的坐标（用点的坐标表示）；
（II）比较与的大小，并证明你的结论.

8 . 已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设不过原点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，线段的中点为，直线与椭圆交于，证明：.

9 . 已知曲线，直线与曲线交于两点，两点在轴上的射影分别为.
（1）当点坐标为时，求的值；
（2）记的面积为，四边形的面积为.
①若，求的值；
②求证：.

10 . 已知椭圆的离心率为，直线经过椭圆的左顶点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线（）交椭圆于两点（不同于点）.过原点的一条直线与直线交于点，与直线分别交于点.
（ⅰ）当时，求的最大值；
（ⅱ）若，求证：点在一条定直线上.