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2005·上海·高考真题

填空题-单空题 | 较难(0.4) |

棱柱表面积的有关计算

真题名校

解题方法

几何体表面积的求法

1 . 有两个相同的直三棱柱，高为

，底面三角形的三边长分别为

，

，用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个三棱柱，则

的取值范围是__．

2023-02-28更新 | 1304次组卷 | 16卷引用：2014-2015学年浙江省嘉兴市一中高二上学期第一次阶段测试数学试卷

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2020·全国·高考真题

解答题-证明题 | 较难(0.4) |

证明线面平行求线面角证明面面垂直

真题名校

解题方法

证明面面垂直的方法定义法或几何法求线线、线面、面面角

2 . 如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是正三角形，侧面BB₁C₁C是矩形，M，N分别为BC，B₁C₁的中点，P为AM上一点，过B₁C₁和P的平面交AB于E，交AC于F.

（1）证明：AA₁∥MN，且平面A₁AMN⊥EB₁C₁F；
（2）设O为△A₁B₁C₁的中心，若AO∥平面EB₁C₁F，且AO=AB，求直线B₁E与平面A₁AMN所成角的正弦值.

2020-07-08更新 | 34943次组卷 | 72卷引用：2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）

2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）（已下线）专题06+立体几何-2021高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化（已下线）专题04 立体几何——2020年高考真题和模拟题理科数学分项汇编（已下线）易错点10 立体几何-备战2021年新高考数学一轮复习易错题（已下线）专题06 立体几何（解答题）——三年（2018-2020）高考真题理科数学分项汇编（已下线）专题20 立体几何综合-2020年高考数学（理）母题题源解密（全国Ⅱ专版）（已下线）专题17 立体几何综合-五年（2016-2020）高考数学（理）真题分项（已下线）第六单元立体几何初步（B卷滚动提升检查）-2021年高考数学一轮复习单元滚动双测卷（新高考地区专用）（已下线）考点37 直线、平面平行的判定与性质（考点专练）-备战2021年新高考数学一轮复习考点微专题（已下线）考点23 运用空间向量解决立体几何问题-2021年高考数学三年真题与两年模拟考点分类解读（新高考地区专用）（已下线）专题8.5 直线、平面垂直的判定及性质（讲）-2021年新高考数学一轮复习讲练测（已下线）专题8.5 直线、平面垂直的判定及性质（精讲）-2021年高考数学(理)一轮复习讲练测（已下线）考点33 空间向量与立体几何-备战2021年高考数学（理）一轮复习考点一遍过（已下线）考点32 直线、平面垂直的判定及其性质-备战2021年高考数学（理）一轮复习考点一遍过（已下线）第31练直线、平面平行的判定与性质-2021年高考数学（理）一轮复习小题必刷（已下线）专题12 点线面的位置关系与空间的角-2021年浙江省高考数学命题规律大揭秘【学科网名师堂】（已下线）专题8.5 直线、平面垂直的判定及性质（精讲）-2021年高考数学（理）一轮复习学与练（已下线）专题24 空间向量与空间角的计算-十年（2011-2020）高考真题数学分项（已下线）易错点10 立体几何中的角-备战2021年高考数学（理）一轮复习易错题（已下线）重难点3 空间向量与立体几何-2021年高考数学【热点·重点·难点】专练（山东专用）（已下线）专题09 立体几何（练）-2021年高考数学二轮复习讲练测（新高考版）（已下线）专题09 立体几何（练）-2021年高考数学二轮复习讲练测（文理通用）（理科）（已下线）专题15 运用空间向量研究立体几何问题-2021年高考数学二轮优化提升专题训练（新高考地区专用）【学科网名师堂】（已下线）重组卷03-冲刺2021年高考数学之精选真题+模拟重组卷（新高考地区专用）（已下线）专题07 立体几何中的向量方法-备战2021届高考数学（理）二轮复习题型专练?（通用版）（已下线）精做04 立体几何-备战2021年高考数学大题精做（新高考专用）（已下线）精做04 立体几何-备战2021年高考数学（理）大题精做（已下线）专题20 立体几何角的计算问题（练）-2021年高三数学二轮复习讲练测（新高考版）（已下线）专题24 立体几何角的计算问题（练）-2021年高三数学二轮复习讲练测（文理通用）（已下线）专题08 立体几何专题- 备战2021年新高考数学纠错笔记（已下线）数学-2021年高考考前20天终极冲刺攻略（二）（新高考地区专用）【学科网名师堂】（5月26日）（已下线）理科数学-2021年高考考前20天终极冲刺攻略（三）（课标全国卷）（5月26日）江苏省南京师范大学附属扬子中学2021届高三下学期四模数学试题（已下线）押第19题立体几何-备战2021年高考数学（文）临考题号押题（全国卷2）（已下线）押第19题立体几何-备战2021年高考数学（理）临考题号押题（全国卷2）（已下线）押第18题立体几何-备战2021年高考数学(理)临考题号押题（全国卷1）广东省茂名市电白区2020-2021学年高一下学期期中数学试题（已下线）考点24 直线、平面平行的判定及其性质-备战2022年高考数学（理）一轮复习考点微专题（已下线）考点33 直线、平面平行的判定及其性质-备战2022年高考数学（理）一轮复习考点帮（已下线）考向33 空间中的平行关系（已下线）第36讲直线、平面垂直的判定及性质（讲） — 2022年高考数学一轮复习讲练测（课标全国版）（已下线）第37讲立体几何中的向量方法（讲） — 2022年高考数学一轮复习讲练测（课标全国版）（已下线）考点52 空间向量在立体几何中的运用-备战2022年高考数学一轮复习考点帮（新高考地区专用）【学科网名师堂】人教B版(2019) 选修第一册过关检测第一章专项把关练（已下线）专题19 空间向量与立体几何（解答题）-备战2022年高考数学（理）母题题源解密（全国甲卷）（已下线）2020年高考全国2数学理高考真题变式题16-20题（已下线）专题33 空间中线线角、线面角，二面角的求法-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】（已下线）专题10 立体几何线面位置关系及空间角的计算（讲）--第一篇热点、难点突破篇-《2022年高考数学二轮复习讲练测（新高考·全国卷）》（已下线）专题22 盘点空间线面角的问题——备战2022年高考数学二轮复习常考点专题突破（已下线）易错点14 立体几何中的角-备战2022年高考数学考试易错题（全国通用）湖南省省级示范名校联盟2022届高三下学期3月第一次学科综合评估检测数学试题（已下线）专题22 空间向量与立体几何（理科)解答题20题-备战2022年高考数学冲刺横向强化精练精讲（已下线）专题21 空间向量与立体几何解答题20题-备战2022年高考数学冲刺横向强化精练精讲（新高考专用）沪教版(2020) 必修第三册达标检测期中测试（已下线）押全国卷（理科）第19题空间向量与立体几何-备战2022年高考数学（理）临考题号押题（全国卷）（已下线）2022年高考考前20天终极冲刺攻略（三）【理科数学】（5月27日）广东省2022届高三高考仿真卷二数学试题（已下线）专题17 立体几何解答题苏教版(2019) 必修第二册必杀技第13章立体几何初步素养检测（已下线）专题24 立体几何解答题最全归纳总结-2（已下线）2020年高考全国Ⅱ卷数学一题多解（已下线）专题06 求空间角妙招迭出，施向量法更添风采（已下线）专题08 立体几何解答题常考全归类（精讲精练）-1（已下线）专题08 立体几何解答题常考全归类（精讲精练）-2（已下线）专题14 押全国卷（理科）第18题立体几何重庆市南岸南坪中学校2022-2023学年高一下学期期中数学试题全国甲乙卷5年真题分类汇编《立体几何》解答题 1.4空间向量的应用内蒙古呼伦贝尔市满洲里远方中学2023-2024学年高三上学期第一次模拟考试理科数学试题辽宁省大连市名校2023-2024学年高二上学期11月阶段性模拟测试数学试题（已下线）点线面之间的位置关系（已下线）专题23 立体几何解答题（理科）-1

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2019·浙江·高考真题

单选题 | 困难(0.15) |

求二面角

真题名校

3 . 设三棱锥

的底面是正三角形，侧棱长均相等，

是棱

上的点（不含端点），记直线

与直线

所成角为

，直线

与平面

所成角为

，二面角

的平面角为

，则

A．	B．
C．	D．

2019-06-09更新 | 12591次组卷 | 59卷引用：2019年浙江省高考数学试卷

2019年浙江省高考数学试卷（已下线）专题04 立体几何——2019年高考真题和模拟题理科数学分项汇编（已下线）专题04 立体几何——2019年高考真题和模拟题文科数学分项汇编（已下线）专题8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系（练）-浙江版《2020年高考一轮复习讲练测》人教A版(2019) 必修第二册逆袭之路第八章立体几何初步专题五高考中的直线、平面之间的位置关系人教A版(2019) 必修第二册过关斩将第八章 8.4～8.6 综合拔高练人教B版(2019) 必修第四册过关斩将第十一章立体几何初步 11.3~11.4 综合拔高练人教A版(2019) 必修第二册突围者第八章模拟高考检测（已下线）狂刷39 立体几何的综合-学易试题君之小题狂刷2020年高考数学（理）2019年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷（已下线）专题05 立体几何（选择题、填空题）——三年（2018-2020）高考真题文科数学分项汇编（已下线）专题05 立体几何（选择题、填空题）——三年（2018-2020）高考真题理科数学分项汇编（已下线）专题04 立体几何-五年（2016-2020）高考数学（文）真题分项（已下线）专题04 立体几何-五年（2016-2020）高考数学（理）真题分项（已下线）【新教材精创】1.2.4+二面角（2）A基础练-人教B版高中数学选择性必修第一册（已下线）专题8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系（练）-2021年新高考数学一轮复习讲练测（已下线）考点31 直线、平面垂直的判定及其性质-备战2021年高考数学（文）一轮复习考点一遍过（已下线）考点32 直线、平面垂直的判定及其性质-备战2021年高考数学（理）一轮复习考点一遍过（已下线）第32练直线、平面垂直的判定与性质-2021年高考数学（理）一轮复习小题必刷（已下线）专题12 点线面的位置关系与空间的角-2021年浙江省高考数学命题规律大揭秘【学科网名师堂】上海市曹杨二中2019-2020学年高二上学期期末数学试题（已下线）狂刷37 空间角与距离-学易试题君之小题狂刷2020年高考数学（理）（已下线）技巧01 选择题解法与技巧第二篇解题技巧篇（讲）-2021年高考数学二轮复习讲练测（浙江专用）（已下线）专题5.3 运用空间向量解决立体几何中的角与距离-备战2021年高考数学精选考点专项突破题集（新高考地区）（已下线）专题10 立体几何线面位置关系及空间角的计算第一篇热点、难点突破篇（讲）-2021年高考数学二轮复习讲练测（浙江专用）（已下线）押第12题立体几何-备战2021年高考数学临考题号押题（浙江专用）浙江省金华市曙光学校2020-2021学年高二下学期期中数学试题浙江省2021届高三高考数学预测卷(一)（已下线）考点30 空间线面位置关系的判定及其性质-备战2022年高考数学一轮复习考点帮（浙江专用）（已下线）考点32 直线、平面垂直的判定及其性质-备战2022年高考数学一轮复习考点帮（浙江专用）（已下线）考点21 直线、平面垂直的判定及其性质-备战2022年高考数学（文）一轮复习考点微专题（已下线）专题10 立体几何-五年（2017-2021）高考数学真题分项（新高考地区专用）（已下线）专题8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系（练）- 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（已下线）专题04 立体几何-五年（2017-2021）高考数学真题分项汇编（文科+理科）（已下线）考点33 直线与平面所成的角【理】-备战2022年高考数学典型试题解读与变式（已下线）专题10 立体几何线面位置关系及空间角的计算（讲）--第一篇热点、难点突破篇-《2022年高考数学二轮复习讲练测（浙江专用）》（已下线）技巧01 选择题解法与技巧（讲）--第二篇解题技巧篇-《2022年高考数学二轮复习讲练测（浙江专用）》（已下线）理科数学-2022年高考押题预测卷01（全国乙卷）（已下线）第09讲空间点、直线、平面之间的关系（核心考点讲与练）-2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第二册）河北省石家庄市十五中2021-2022学年高一下学期期中数学试题黑龙江省哈尔滨德强学校2021-2022学年高一下学期期末数学试题苏教版(2019) 必修第二册过关斩将第13章 13.2 综合拔高练沪教版(2020) 选修第一册精准辅导第3章 3.4（4）求角的大小（第2课时）（已下线）第03讲直线、平面平行垂直的判定与性质（练）（已下线）专题9 立体几何（已下线）重难点01 线线角、线面角、二面角问题（重难点突破解题技巧与方法）-2022-2023学年高二数学考试满分全攻略（沪教版2020必修第三册）（已下线）专题7 2022年高考“立体几何”专题命题分析沪教版(2020) 一轮复习堂堂清第八单元 8.4 平面与平面的位置关系（已下线）专题7-2 立体几何压轴小题：角度与动点、体积（讲+练）-1（已下线）专题18 空间几何题综合问题（体积、面积、角度、距离、轨迹等）（选填题）-3（已下线）第3章空间向量及其应用（基础、常考、易错、压轴）分类专项训练（原卷版）（已下线）第五篇向量与几何专题17 三正弦定理、三余弦定理微点1 三正弦定理、三余弦定理辽宁省大连市滨城高中联盟2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题辽宁省实验中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（已下线）重难点突破05 立体几何中的常考压轴小题（七大题型）-2（已下线）点线面之间的位置关系（已下线）通关练05 空间向量与立体几何近五年高考真题4考点精练（30题）- 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)（已下线）专题14 立体几何选择题（理科）-2（已下线）专题13 立体几何选择题（文科）-2

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2008·全国·高考真题

单选题 | 适中(0.65) |

余弦定理解三角形求异面直线所成的角

真题名校

解题方法

定义法或几何法求线线、线面、面面角

4 . 已知正四棱锥