1 . 双曲线C：的左、右焦点分别为、，过且倾斜角为的直线为，过且倾斜角为的直线为，已知，之间的距离为．
(1)求C的方程；
(2)若过点的直线l与C的左、右两支分别交于两点（点不在x轴上），判断是否存在实数k使得．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

2 . 如图，在直三棱柱中，，，三棱锥的体积为，点D为的中点．

(1)求证：平面平面；
(2)求直线CD与平面所成角的正弦值．

3 . 已知椭圆的离心率为，且椭圆的短轴长为．
(1)求椭圆的方程．
(2)设是椭圆上第一象限内的一点，是椭圆的左顶点，是椭圆的上顶点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点．记的面积为，的面积为．证明：为定值．

4 . 如图，四棱锥的底面是平行四边形，是边长为2的正三角形，平面平面为棱的中点．

(1)证明：平面．
(2)求直线与平面所成角的正弦值．

5 . 已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆的短轴长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点，且满足（为坐标原点）若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

6 . 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，点为线段的中点，点为线段上的动点．

(1)求证：平面平面．
(2)试确定点的位置，使平面与平面所成的锐二面角为．

7 . 在正四棱柱中，，是棱 上的中点．
   
(1)求证：；
(2)异面直线与所成角的余弦值．

8 . 如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，．

   

(1)证明：平面；
(2)在线段（不含端点）上是否存在一点E，使得二面角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在请说明理由．

9 . 平面内动点与两定点连线的斜率之积等于，若点的轨迹为曲线，过点作斜率不为零的直线交曲线于点．
(1)求曲线的方程；
(2)求证：；
(3)求面积的最大值．

10 . 如图，已知多面体EABCDF的底面ABCD是边长为2的正方形，，，且.
   
(1)记线段的中点为，在平面内过点作一条直线与平面平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.