1 . 已知函数.（其中为常数）
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，判断函数是否存在零点？如果存在，求出零点的个数；
(3)当且时，试讨论函数的单调区间和极值.

2 . 已知函数，，令
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)当a为正数且时，，求a的最小值；
(3)若对一切都成立，求a的取值范围.

4 . 若函数在处取得极值，且（常数），则称是函数的“相关点”.
(1)若函数存在“相关点”，求的值；
(2)若函数（常数）存在“1相关点”，求的值：
(3)设函数的表达式为（常数且），若函数有两个不相等且均不为零的“2相关点”，过点存在3条直线与曲线相切，求实数的取值范围.

5 . 若函数的图像上点与点、点与点分别关于原点对称，除此之外，不存在函数图像上的其它两点关于原点对称，则实数的取值范围是____________．

7 . 在平面直角坐标系中，函数在第一象限内的图像如图所示，试做如下操作，把轴上的区间等分成个小区间，在每一个小区间上作一个小矩形，使矩形的右端点落在函数的图像上.若用，表示第个矩形的面积，表示这个矩形的面积总和.

（Ⅰ）求的表达式；
（Ⅱ）请用数学归纳法证明等式：；
（Ⅲ）求的值，并说明的几何意义.

8 . 设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是__________．

9 . 数列，定义为数列的一阶差分数列，其中．
（1）若，试判断是否是等差数列，并说明理由；
（2）若，，求数列的通项公式；
（3）对（2）中的数列，是否存在等差数列，使得对一切都成立，若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由．

10 . 已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）函数在区间上有零点，求的值；
（3）记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值．