1 . 已知长方体中，，，点为的中点．
   
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积．

2 . 如图所示，在三棱锥中，．

(1)求三棱锥的体积；
(2)求二面角的正弦值．

3 . 将一个边长为2的正六边形（图1）沿对折，形成如图2所示的五面体，其中，底面是正方形．

(1)求二面角的大小．
(2)如图3，点分别为棱上的动点．求周长的最大值．

4 . 如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，且是线段上一动点（不含端点），是的中点，.

(1)当平面时，求三棱锥的体积；
(2)当与平面所成角的余弦值为时，求平面与平面夹角的余弦值.

5 . 某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知半球的直径是6cm，圆柱筒长4cm．
(1)这种“浮球”的体积是多少cm³？（结果精确到0.1）
(2)要在2500个这样的“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需涂胶约多少克？（结果精确到个位）．

6 . 如图，在三棱锥中，为的中点，底面.

(1)求证：平面；
(2)若，求点到平面的距离；
(3)若点在平面上的投影恰好是的重心，求线段的长.

7 . 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面底面，为正三角形，E是AB的中点，.

   

(1)求点C到平面的距离.
(2)求二面角的余弦值.

8 . 如图①所示，在中，，，，垂直平分．现将沿折起，使得二面角的大小为，得到如图②所示的四棱锥．

(1)求证：平面平面；
(2)若Q为上一动点，且，当锐二面角的余弦值为时，求四棱锥的体积．

9 . 如图，是的直径，，点是上的一个动点，过点作垂直所在的平面，且.

(1)当三棱锥体积最大时，求直线与平面所成角的大小；
(2)当点A是上靠近点的三等分点时，求二面角的正弦值.

10 . 如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为.

(1)求该半球的体积；
(2)若从半球中把正四棱锥挖去，求所得几何体的表面积.