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解析

| 共计 732 道试题

2021·全国·高考真题

解答题-证明题 | 适中(0.65) |

求二面角线面垂直证明线线垂直空间位置关系的向量证明面面角的向量求法

真题名校

解题方法

向量法求线线、线面、面面角证明线线、线面垂直的方法

1 . 已知直三棱柱

中，侧面

为正方形，

，E，F分别为

和

的中点，D为棱

上的点．

（1）证明：

；
（2）当

为何值时，面

与面

所成的二面角的正弦值最小?

2021-06-07更新 | 56103次组卷 | 139卷引用：吉林省长春外国语学校2022-2023学年高二上学期11月期中数学试题

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2021·全国·高考真题

解答题-问答题 | 适中(0.65) |

面面角的向量求法

真题名校

解题方法

向量法求线线、线面、面面角

2 . 如图，四棱锥

的底面是矩形，

底面

，

，

为

的中点，且

．

（1）求

；
（2）求二面角

的正弦值．

2021-06-07更新 | 48994次组卷 | 86卷引用：吉林省汪清县汪清第四中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理）试题

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2019·全国·高考真题

解答题-证明题 | 适中(0.65) |

证明线面平行面面角的向量求法

真题名校

解题方法

向量法求线线、线面、面面角证明线线、线面平行的方法

3 . 如图，直四棱柱ABCD–A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，AA₁=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB₁，A₁D的中点．

（1）证明：MN∥平面C₁DE；
（2）求二面角A-MA₁-N的正弦值．

2019-06-09更新 | 45098次组卷 | 85卷引用：吉林省辽源市友好学校第七十届2020-2021学年高二上学期期末联考数学（理）试题

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2023·吉林·二模

解答题-问答题 | 较难(0.4) |

柱体体积的有关计算锥体体积的有关计算面面角的向量求法

名校

解题方法

向量法求线线、线面、面面角几何体体积的求法

4 . 如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线，E是AC与BD的交点，，．

(1)记圆柱的体积为

，四棱锥

的体积为

，求

；
(2)设点F在线段AP上，

，求二面角

的余弦值．

2023-02-23更新 | 6765次组卷 | 15卷引用：2023届安徽省、云南省、吉林省、黑龙江省高三下学期2月适应性测试数学试题

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2018·全国·高考真题

单选题 | 适中(0.65) |

异面直线夹角的向量求法

真题名校

解题方法

向量法求线线、线面、面面角

5 . 在长方体

中，

，

，则异面直线

与

所成角的余弦值为

A．

B．

C．

D．

2018-06-09更新 | 32895次组卷 | 162卷引用：【市级联考】吉林省公主岭市2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试题

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22-23高二下·江苏南京·期末

解答题-证明题 | 适中(0.65) |

证明线面垂直面面垂直证线面垂直面面角的向量求法空间线段点的存在性问题

名校

解题方法

向量法求线线、线面、面面角证明线线、线面垂直的方法

6 . 如图所示，在三棱锥

中，已知

平面

，平面

平面

．

(1)证明：

平面

；
(2)若

，

，在线段

上（不含端点），是否存在点

，使得二面角

的余弦值为

，若存在，确定点

的位置；若不存在，说明理由．

2023-06-26更新 | 3900次组卷 | 16卷引用：吉林省长春市新解放学校2022-2023学年高一下学期期末数学试题

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2018·全国·高考真题

解答题-证明题 | 适中(0.65) |

证明面面垂直面面角的向量求法

真题名校

解题方法

向量法求线线、线面、面面角证明面面垂直的方法

7 . 如图，边长为2的正方形

所在的平面与半圆弧

所在平面垂直，

是

上异于

，

的点．
（1）证明：平面

平面

；
（2）当三棱锥

体积最大时，求面

与面

所成二面角的正弦值．

2018-06-09更新 | 30840次组卷 | 38卷引用：吉林省长春市农安县2022-2023学年高二上学期期末数学试题

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19-20高三上·山东·期末

多选题 | 较易(0.85) |

锥体体积的有关计算求异面直线所成的角证明线面垂直线面角的向量求法

名校

解题方法

向量法求线线、线面、面面角证明线线、线面垂直的方法

8 . 如图，在正方体

中，点P在线段

上运动，则下列结论正确的是（）

A．直线

平面

B．三棱锥

的体积为定值

C．异面直线

与

所成角的取值范围是

D．直线

与平面

所成角的正弦值的最大值为

2023-05-16更新 | 3004次组卷 | 71卷引用：吉林省长春吉大附中实验学校2021-2022学年高二上学期期末数学试题

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22-23高三上·天津河西·期末

解答题-证明题 | 较难(0.4) |

空间位置关系的向量证明已知线面角求其他量面面角的向量求法点到平面距离的向量求法

名校

解题方法

向量法求线线、线面、面面角

9 . 如图，在四棱锥

中，

平面

，

，且

，

，

，

，

，

为

的中点.

(1)求证：

平面

；
(2)求平面

与平面

夹角的余弦值；
(3)点

在线段

上，直线

与平面

所成角的正弦值为

，求点

到平面

的距离.

2023-01-13更新 | 2905次组卷 | 5卷引用：吉林省长春市十一高中2022-2023学年高一下学期期末数学试题

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2019·天津·高考真题

解答题-证明题 | 适中(0.65) |

已知面面角求其他量

真题名校

解题方法

向量法求线线、线面、面面角

10 . 如图，

平面

，

，

.

（Ⅰ）求证：

平面

；
（Ⅱ）求直线

与平面

所成角的正弦值；
（Ⅲ）若二面角

的余弦值为

，求线段

的长.

2019-06-09更新 | 16953次组卷 | 67卷引用：吉林省吉林市三校2018-2019学年度高二下学期期末数学（理）试卷

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