1 . 数学活动课上，老师让同学们以“过等腰三角形顶点的直线”为主题开展数学探究．

(1)操作发现：如图甲，在中，，且，直线l经过点A．小华分别过B、C两点作直线l的垂线，垂足分别为点D、E．易证，此时，线段的数量关系为：______；
(2)拓展应用：
如图乙，为等腰直角三角形，，已知点C的坐标为，点B的坐标为．请利用小华的发现直接写出点A的坐标：
(3)迁移探究：
如图丙，小华又作了一个等腰，，且，她在直线l上取两点D、E，使得，请你帮助小华判断（1）中线段的数量关系是否变化，若不变，请证明；若变化，写出它们的关系式并说明理由；

2 . 【问题初探】
（1）张老师在数学活动课上出示了一道探究题：如图1，在和中，，，B，C，E三点在同一直线上，A，D两点在同侧，若，求证：．张老师分别从问题的条件和结论出发分析这道探究题：
①如图2，从条件出发：过点A作于点M，过点D作于点N，依据等腰三角形的性质“三线合一”分析与之间的关系，可证得结论．
②如图3，从结论出发：过点E作交的延长线于点G，依据三角形全等的判定，证明，可证得结论．
请你运用其中一种方法，解决上述问题．
【类比分析】
（2）小明同学经过对探究题及张老师分析方法的思考，提出以下问题：如图4，在中，，在中，，B，C，E三点在同一直线上，A，D两点在同侧，且A，D，E三点在同一直线上，若，，，求的长．
【学以致用】
（3）在小明同学的问题得到解决后，张老师针对之前的解题思路提出了以下问题：如图5，在四边形中，，，点E为CD的中点，连接．若，，，求的长．

       
     

3 . 【概念建构】
在中，，直线经过点A，于点D，于点E．如图1，当直线在外部时，称和是的“双外弦三角形”，如图2，当直线在内部时，称和是的“双内弦三角形”，依据“两角及其夹边分别相等的两个三角形全等”的基本事实，我们得到“双外弦三角形”和“双内弦三角形”都是全等三角形，即．
【概念应用】
（1）如图3，在中，于点M，，E是边上的点，，，连接，，若，求的长．
小亮同学在阅读与理解【概念建构】的基础上，作于点N构造出如图4所示的“双内弦三角形”，并应用“双内弦三角形”是全等三角形的结论求出了．请你依照小亮的解题思路，写出解答过程．
（2）请你应用“双内弦三角形”和“双外弦三角形”都是全等三角形的结论或者按照自己的解题思路解答下列问题．
如图5，在中，，D是边上一点，，交于点N，延长，交于点F，猜想，，之间的数量关系，并说明理由．
【学以数用】
（3）如图6，，和是等腰直角三角形，，，直接写出和的面积和．
【拓展延伸】
（4）如图7，在中，，点D在边上，过B作交延长线于点E，延长至点F，连接，使，连接交于点G，若，直接写出的面积．
                 
            

4 . 已知：如图，在平行四边形中，的平分线交于点F，的平分线交于点E．

(1)求证：．
(2)若，求线段的长．

5 . 【问题提出】
如图，在中，，点P是边上的动点（不与点A、B重合），把沿过点P的直线l折叠，点B的对应点是点D，折痕为．

（1）若点D恰好在边上．
①如图1，当时，连接，求证：．
②如图2，当，且，，直接写出与的周长差．
【探究迁移】
（2）如图3，点P在边上运动时，若直线l始终垂直于，且，．直接写出的面积．

【拓展应用】
（3）若点Q与点C重合，，，，则________．

7 . 如图，在中，是斜边上的高，的平分线交于点G，交于点E，交于点F，连接．求证：，．
   

8 . 如图，在中，，依据尺规作图痕迹，下列判断正确的是（       ）
①；②； ③．

A．①②③

B．②③

C．②

D．③

9 . 如图，在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F．连接．求证：四边形是矩形．

10 . 如图，在中，平分，于点E，点F是的中点．

(1)如图1，的延长线与边相交于点D，求证：；
(2)如图 2，探究线段之间的数量关系，直接写出你的结论：        ．