1 . 已知函数
．
(1)当
时，判断
在区间
内的单调性；
(2)若有三个零点
，且
．
（i）求
的取值范围；
（ii）证明：
.
．(1)当
时，判断在区间内的单调性；(2)若
有三个零点，且．（i）求
的取值范围；（ii）证明：
.
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名校
2 . 多元导数在微积分学中有重要的应用.设
是由，
，
…等多个自变量唯一确定的因变量，则当变化为
时，变化为
，记
为对的导数，其符号为
.和一般导数一样，若在
上，已知
，则随着的增大而增大；反之，已知
，则随着的增大而减小.多元导数除满足一般分式的运算性质外，还具有下列性质：①可加性：
；②乘法法则：
；③除法法则：
；④复合法则：
.记
.（
为自然对数的底数），
(1)写出
和的表达式；
(2)已知方程
有两实根
，
.
①求出的取值范围；
②证明
，并写出
随的变化趋势.
是由，，…等多个自变量唯一确定的因变量，则当变化为时，变化为，记为对的导数，其符号为.和一般导数一样，若在上，已知，则随着的增大而增大；反之，已知，则随着的增大而减小.多元导数除满足一般分式的运算性质外，还具有下列性质：①可加性：；②乘法法则：；③除法法则：；④复合法则：.记.（为自然对数的底数），(1)写出
和的表达式；(2)已知方程
有两实根，.①求出
的取值范围；②证明
，并写出随的变化趋势.
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2024-02-21更新
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1066次组卷
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3卷引用：广东省广州市华南师范大学附属中学2024届高三上学期数学周测试题（12）
广东省广州市华南师范大学附属中学2024届高三上学期数学周测试题（12）（已下线）微考点2-5 新高考新试卷结构19题压轴题新定义导数试题分类汇编江苏省海安高级中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试题
名校
3 . 已知函数
,其中
．
(1)当
时,求曲线
在点
处的切线方程;
(2)当
时,判断的零点个数,并加以证明;
(3)当
时,证明:存在实数m,使
恒成立．
,其中．(1)当
时,求曲线在点处的切线方程;(2)当
时,判断的零点个数,并加以证明;(3)当
时,证明:存在实数m,使恒成立．
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2023-01-05更新
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1144次组卷
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5卷引用：北京市西城区2023届高三上学期数学期末试题
2022高三·全国·专题练习
名校
4 . 已知
，函数
，
是的导函数．
(1)当时，求证：存在唯一的
，使得
；
(2)若存在实数a，b，使得
恒成立，求
的最小值．
，函数，是的导函数．(1)当
时，求证：存在唯一的，使得；(2)若存在实数a，b，使得
恒成立，求的最小值．
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2022-06-02更新
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2553次组卷
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5卷引用：专题11：隐零点设而不求
（已下线）专题11：隐零点设而不求（已下线）专题07 不等式恒成立问题（已下线）专题07 不等式恒成立问题-2江苏省常州市前黄高级中学2022-2023学年高一强基班上学期阶段检测数学试题四川省成都市第七中学（高新校区）2023-2024学年高二下学期4月学科素养测试数学试卷
5 . 已知函数
，
.
(1)当
时，
①求曲线
在
处的切线方程；
②求证：
在
上有唯一极大值点；
(2)若没有零点，求的取值范围.
，.(1)当
时，①求曲线
在处的切线方程；②求证：
在上有唯一极大值点；(2)若
没有零点，求的取值范围.
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2022-04-07更新
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2433次组卷
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10卷引用：北京市西城区2022届高三一模数学试题
6 . 已知函数
（）．
(1)试讨论函数的单调性；
(2)若函数有两个零点
，
（），求证：
．
（）．(1)试讨论函数
的单调性；(2)若函数
有两个零点，（），求证：．
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名校
7 . 已知函数
，且与
轴相切于坐标原点．
(1)求实数的值及的最大值；
(2)证明：当
时，
；
(3)判断关于的方程
实数根的个数，并证明．
，且与轴相切于坐标原点．(1)求实数
的值及的最大值；(2)证明：当
时，；(3)判断关于
的方程实数根的个数，并证明．
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2024-03-06更新
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1230次组卷
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3卷引用：山西省2024届高三第二次学业质量评价数学试题
8 . 设
，已知函数
有
个不同零点.
(1)当时，求函数的最小值：
(2)求实数的取值范围；
(3)设函数的三个零点分别为、、
，且
，证明：存在唯一的实数，使得、、成等差数列.
，已知函数有个不同零点.(1)当
时，求函数的最小值：(2)求实数
的取值范围；(3)设函数
的三个零点分别为、、，且，证明：存在唯一的实数，使得、、成等差数列.
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名校
9 . 已知函数
在区间
内有唯一极值点，其中
为自然对数的底数.
(1)求实数的取值范围；
(2)证明：在区间
内有唯一零点.
在区间内有唯一极值点，其中为自然对数的底数.(1)求实数
的取值范围；(2)证明：
在区间内有唯一零点.
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10 . 已知函数
，
，
（）．
(1)证明：当
时，
；
(2)讨论函数
在
上的零点个数．
，，（）．(1)证明：当
时，；(2)讨论函数
在上的零点个数．
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