1 . 已知函数的极大值为,其中为自然对数的底数.
（1）求实数的值；
（2）若函数,对任意,恒成立.
（i）求实数的取值范围；
（ii）证明：.

2 . 已知椭圆的右焦点为，且经过点.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为原点，直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.

3 . 已知函数，为的导数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）证明：在区间上存在唯一零点；
（Ⅲ）设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围.

4 . 已知函数（ 为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）设,其中 为的导函数.证明：对任意 .

5 . 已知椭圆：的焦距为，其上下顶点分别为、，点，，．
(1)求椭圆的方程；
(2)点P的坐标为，过点A任意作直线与椭圆相交于M、N两点，设直线、、的斜率依次成等差数列，探究m、n之间是否满足某种数量关系，若是，请给出m、n的关系式，并证明；若不是，请说明理由．

6 . 已知函数，．
（1）求在点P(1，)处的切线方程；
（2）若关于x的不等式有且仅有三个整数解，求实数t的取值范围；
（3）若存在两个正实数，满足，求证：．

7 . 已知函数.
（1）若曲线存在斜率为-1的切线，求实数a的取值范围；
（2）求的单调区间；
（3）设函数，求证：当时， 在上存在极小值.

8 . 已知函数，.（为自然对数的底数）
（1）设；
①若函数在处的切线过点，求的值；
②当时，若函数在上没有零点，求的取值范围.
（2）设函数，且，求证：当时，.

9 . 设，，函数，其中是自然对数的底数，曲线

在点处的切线方程为.

（Ⅰ）求实数、的值；

（Ⅱ）求证：函数存在极小值；

（Ⅲ）若，使得不等式成立，求实数的取值范围.

10 . 已知函数
（1） 若，求的图象在处的切线方程；
（2）若在定义域上是单调函数，求的取值范围；

（3）若存在两个极值点，求证: