1 . 已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是．

2 . 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.

3 . 已知函数.
（1）求证：当时，；
（2）设实数k使得对恒成立，求k的最大值.

4 . 记、分别为函数、的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”．
（1）证明：函数与不存在“点”；
（2）若函数与存在“点”，求实数的值．

5 . 设函数，其中.
（1）若，证明：当时，；
（2）若在区间内有两个不同的零点，求a的取值范围.

6 . 已知点在椭圆上，且椭圆的离心率为，若过原点的直线交于A，两点，点A在第一象限，轴，垂足为，连接并延长交于点．
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：．

7 . 已知函数.
（1）若在区间上为单调递增函数，求的取值范围；
（2）若，证明：.

8 . 如图所示，在平面直角坐标系中，已知点为椭圆的上顶点.椭圆以椭圆的长轴为短轴，且与椭圆有相同的离心率.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作斜率分别为的两条直线，直线与椭圆分别交于点，直线与椭圆分别交于点.
（i）当时，求点的纵坐标；
（ii）若两点关于坐标原点对称，求证：为定值.

9 . 已知的三条边为，求证：是等边三角形的充要条件是．

10 . 已知函数，．
（1）讨论函数极值点的个数；
（2）若函数有两个极值点，，证明：．