1 . 已知函数.
（1）求函数在内的单调递增区间；
（2）当时，求证：.

2 . 已知椭圆C：右焦点为，且过点．
（1）求C的方程；
（2）点P、Q分别在C和直线上，，M为的中点，求证：直线与直线的交点在某定曲线上．

3 . 在圆内有一点，动点M为圆A上任意一点，线段的垂直平分线与半径相交于点N，设点N的轨迹为C.
（1）求轨迹C的方程；
（2）若直线与轨迹C交于不同两点E，F，轨迹C上存在点P，使得以为邻边的四边形为平行四边形(O为坐标原点)，求证：的面积为定值.

4 . 已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）若函数在处导数相等，证明．
（Ⅲ）若对任意的实数，若直线上与曲线均有唯一公共点，求实数b的取值范围．

5 . 如图，已知抛物线C：的焦点F，过x轴上一点作两条直线分别交抛物线于A，B和C，D，设和所在直线交于点P．设M为抛物线上一点，满足以下的其中两个条件：①M点坐标可以为；②轴时，；③比M到y轴距离大1．

（1）抛物线C同时满足的条件是哪两个？并求抛物线方程；
（2）判断并证明点P是否在某条定直线上，如果是，请求出该直线；如果不是，请说明理由．

6 . 已知函数.
（1）求在点处的切线方程；
（2）若方程有两个实根，且，证明；时，.(注∶e为自然对数的底数)

7 . 如图所示，已知点、是椭圆的两个焦点，椭圆经过点、，点是椭圆上异于、的任意一点，直线和与椭圆的交点分别是、和、.设、的斜率分别为、.

（1）求证：为定值；
（2）求的最大值.

9 . 如图已知是直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，与轴分别交于.

（1）求证：直线过定点，并求出该定点；
（2）设直线与轴相交于点，记两点到直线的距离分别为；求当取最大值时的面积.

10 . 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，直线交抛物线于，两点.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过点，分别作抛物线的切线，，点为直线，的交点.
（i）求证：点在一条定直线上；
（ii）求面积的取值范围.