1 . 已知函数.
（1）当时，设函数的最小值为，证明：；
（2）若函数有两个极值点，，证明：.

2 . 已知函数，为的导函数.
（1）求证：在上存在唯一零点;
（2）求证: 有且仅有两个不同的零点.

3 . 已知，函数，其中为自然对数的底数.
（1）证明：函数在上有唯一零点；
（2）记为函数在上的零点，证明：.(参考数值：)

4 . 已知的两个顶点的坐标分别为，，且所在直线的斜率之积等于，记顶点的轨迹为.
（Ⅰ）求顶点的轨迹的方程；
（Ⅱ）若直线与曲线交于两点，点在曲线上，且为的重心（为坐标原点），求证：的面积为定值，并求出该定值.

5 . 已知椭圆C：的离心率为，且过点．
（1）求的方程：
（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．

6 . 已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.

7 . 已知函数.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若关于x的不等式可对于任意成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：.

8 . 已知函数.
（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；
（Ⅱ）当时，求证：；
（Ⅲ）设，记在区间上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值．

9 . 已知椭圆的右焦点为，且经过点.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为原点，直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.

10 . 已知抛物线C：x²=−2py经过点（2，−1）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；
（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．