1 . 已知函数，是函数的导函数.
（1）证明：在上没有零点；
（2）证明：当，.

2 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆（）的右焦点为，离心率为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若过点F的直线l交C于A，B两点，线段的中点为M，分别过A，B作C的切线，，且与交于点P，证明：O，P，M三点共线.

3 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆．如图所示，斜率为且过点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点．

（1）求证：；
（2）若在射线上，且，求证：点在定直线上．

4 . 已知函数.
（1）当时，试判断函数在上的单调性；
（2）存在，，，求证：.

5 . 已知函数.
（1）判断的单调性；
（2）若方程有唯一实根，求证：.

6 . 椭圆的右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，直线的斜率为，的面积为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）椭圆上有两点M，N（异于椭圆顶点，且MN与x轴不垂直），证明：当的面积最大时，直线与的斜率之积为定值．

7 . 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，.
（1）求抛物线的标准方程.
（2）已知直线交抛物线于点，且，证明：直线过定点.

8 . 已知椭圆的离心率为，过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点、分别是椭圆的左顶点和上顶点，、为椭圆上异于、的两点，满足，求证：面积为定值．

9 . 已知函数．
（1）求函数在的最大值；
（2）证明：函数在有两个极值点，并判断与的大小关系．

10 . 已知椭圆的焦距为，连接其四个顶点构成的四边形的面积为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线交C于两点，直线与的斜率互为相反数，证明：过定点.