1 . 在平面直角坐标系中， 椭圆：的左，右顶点分别为、，点是椭圆的右焦点，，．
(1)求椭圆的方程；
(2)不过点的直线交椭圆于、两点，记直线、、的斜率分别为、、.若，证明直线过定点， 并求出定点的坐标．

2 . 在平面直角坐标系中，椭圆过点，．
(1)求椭圆的方程；
(2)点是单位圆上的任意一点，设，，是椭圆上异于顶点的三点且满足．求证：直线与的斜率乘积为定值．

3 . 设函数.
(1)若，求在点处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)若，求证：在时，.

4 . 定义椭圆的“蒙日圆”的方程为，已知椭圆的长轴长为4，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程和它的“蒙日圆”E的方程；
(2)过“蒙日圆”E上的任意一点M作椭圆的一条切线，A为切点，延长MA与“蒙日圆”E交于点，O为坐标原点，若直线OM，OD的斜率存在，且分别设为，证明：为定值.

5 . 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数在上恒成立，求证：.（注：）

6 . 已知函数，其中m＞0，f '(x)为f(x)的导函数，设，且恒成立．
(1)求m的取值范围；
(2)设函数f(x)的零点为x₀，函数f '(x)的极小值点为x₁，求证：x₀＞x₁．

7 . 已知函数，.
(1)求证：在上恒成立；
(2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

8 . 已知函数，（其中a为非零实数）．
(1)讨论的单调性；
(2)若函数（e为自然对数的底数）有两个零点．
①求实数a的取值范围；
②设两个零点分别为、，求证：．

9 . 设函数，
(1)设是图象的一条切线，求证：当时，切线与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关；
(2)设函数，若在定义域上无极值点，求的取值范围.

10 . 已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明