1 . 如图，在直四棱柱中，在棱上，满足在棱上，满足.

(1)当时，证明：平面；
(2)若平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，求的值.

2 . 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，点、为椭圆上异于、的两点，面积的最大值为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线、的斜率分别为、，且．
①求证：直线经过定点．
②设和的面积分别为、，求的最大值．

3 . 如图在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，.

(1)求证：；
(2)若四棱锥的体积为，求二面角的正弦值.

4 . 已知抛物线，其焦点与准线的距离为，若直线与交于两点（直线不垂直于轴），且直线与另一个交点为，直线与另一个交点.

(1)求抛物线的方程；
(2)若点，满足恒成立，求证：直线过定点.

5 . 如图，在长方体中，点， 分别在棱上，且，．
   
(1)证明：；
(2)若，，，求平面与平面夹角的余弦值．

6 . 已知椭圆的离心率为，上顶点为M，下顶点为N，，设点在直线上，过点T的直线分别交椭圆C于点E和点F．

(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求证：直线恒过定点，并求出该定点；
(3)若的面积为的面积的k倍，则当t为何值时，k取得最大值？

7 . 已知是双曲线的左焦点，点在双曲线上且双曲线的离心率为2.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若是双曲线在第二象限内的动点，，记的内角平分线所在直线斜率为，直线斜率为,求证：是定值.

8 . 如图，在四棱锥中，已知，，，，，，为中点，为中点.

(1)证明：平面平面；
(2)若，求平面与平面所成夹角的余弦值.

9 . 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．

(1)证明：平面平面PBC；
(2)若直线AF与平面PAB所成的角的余弦值为，求点P到平面AEF的距离．

10 . 在四棱锥中，底面为梯形，为上的点，且.

(1)证明：面：
(2)若面，面面，求二面角的正弦值.