1 . 已知椭圆的离心率为，上顶点为M，下顶点为N，，设点在直线上，过点T的直线分别交椭圆C于点E和点F．

(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求证：直线恒过定点，并求出该定点；
(3)若的面积为的面积的k倍，则当t为何值时，k取得最大值？

2 . 如图，在四棱锥中，侧面是边长为的正三角形且与底面垂直，底面是菱形，且，为棱上的动点，且．

(1)求证：为直角三角形；
(2)试确定的值，使得平面与平面夹角的余弦值为．

3 . 已知点，在双曲线E：上．
(1)求双曲线E的方程；
(2)直线l与双曲线E交于M，N两个不同的点（异于A，B），过M作x轴的垂线分别交直线AB，直线AN于点P，Q，当时，证明：直线l过定点．

4 . 如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，，平面平面，为棱上的点，且．

(1)求证：平面；
(2)若，二面角为，求平面与平面的夹角的余弦值．

5 . 已知双曲线：的离心率为，并且经过点．
(1)求双曲线的方程．
(2)若直线经过点，与双曲线右支交于、两点其中点在第一象限，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，且直线与交于点，直线与交于点，证明：双曲线在点处的切线平分线段．

6 . 已知四面体ABCD，D在面ABC上的射影为，为的外心，，.
   
(1)证明：BC⊥AD；
(2)若E为AD中点，OD=2，求平面与平面夹角的余弦值．

7 . 如图，在四棱锥中，已知，，，，，，为中点，为中点.

(1)证明：平面平面；
(2)若，求平面与平面所成夹角的余弦值.

8 . 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．

(1)证明：平面平面PBC；
(2)若直线AF与平面PAB所成的角的余弦值为，求点P到平面AEF的距离．

9 . 设抛物线，过轴上点的直线与相切于点，且当的斜率为时，.
(1)求的方程；
(2)过且垂直于的直线交于两点，若为线段的中点，证明：直线过定点.

10 . 如图，正三棱柱的所有棱长均为为的中点，为上一点，

(1)若，证明：平面；
(2)当直线与平面所成角的正弦值为，求的长度.