1 . 如图所示，、分别为椭圆的左、右顶点，离心率为．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线、与椭圆交于、两点，证明直线过定点，并求面积的最大值．

2 . 如图，在以，，，，为顶点的五面体中，四边形为等腰梯形，，，平面平面，．

(1)求证：；
(2)若，求二面角的余弦值．

3 . 已知三棱锥（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：

(1)证明：平面平面；
(2)若点M在棱上运动，当直线与平面所成的角最大时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

4 . 如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，∥、、、，、分别为、的中点，．

(1)证明：平面平面；
(2)若与所成角为，求二面角的余弦值．

5 . 如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，E为AD的中点，平面，，M为PB的中点.

(1)求证：直线平面PCD；
(2)若，，求直线EM与平面PCE所成角的正弦值.

6 . 如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的菱形，，点D为棱AC上的动点（不与A、C重合），平面与棱交于点.

(1)求证；
(2)若平面平面，，判断是否存在点D使得平面与平面所成的锐二面角为，并说明理由.

7 . 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．
(1)求实数的值及抛物线的标准方程；
(2)如图，过点的直线交轴于点，点在线段上，过点的直线交抛物线于不同两点（点异于点），直线分别交抛物线于不同的两点．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
   
①为的中点；
②直线为抛物线的切线；
③∥．

8 . 在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆圆心的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)设曲线的左、右两个顶点分别为、，为直线上的动点，且不在轴上，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，为曲线的左焦点，求证：的周长为定值.

9 . 在多面体中，四边形是边长为4的正方形，，△ABC是正三角形．
   
(1)若为AB的中点，求证：直线平面；
(2)若点在棱上且，求点C到平面的距离．

10 . 如图所示，六面体的底面四边形是正方形，，且平面，平面与平面的交线为l．
   
(1)求证：直线平面；
(2)已知，若与平面所成角为，求的值．