1 . 如图，轴，垂足为D，点P在线段上，且．

(1)点M在圆上运动时，求点P的轨迹方程；
(2)记（1）中所求点P的轨迹为，过点作一条直线与相交于两点，与直线交于点Q．记的斜率分别为，证明：是定值．

2 . 如图，在多面体中，底面为直角梯形，，，平面，.

(1)证明：；
(2)若，，且多面体的体积为，求直线与平面所成角的正弦值.

3 . 如图所示，在正四面体中，，点为线段AB上靠近A点的四等分点，I、H分别为线段AD、AC的中点，直线GH与直线BC交于点E，直线GI与直线BD交于点F．

(1)证明：；
(2)设M为线段EF的中点，求直线GM与平面ABC所成角的正弦值．

4 . 已知离心率为的椭圆的左、右顶点分别为，点为椭圆上的动点，且面积的最大值为．直线与椭圆交于两点，点，直线分别交椭圆于两点，过点作直线的垂线，垂足为．
(1)求椭圆的方程．
(2)记直线的斜率为，证明：为定值．
(3)试问：是否存在定点，使为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由．

6 . 如图所示，在三棱柱中，点G、M分别是线段AD、BF的中点.
   
(1)求证：平面BEG；
(2)若三棱柱的侧面ABCD和ADEF都是边长为2的正方形，平面平面ADEF，求二面角的余弦值；

7 . 如图，在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，点，，，分别在侧棱，，，上，且，，，

(1)证明：，，，四点共面；
(2)如果，，为的中点，求二面角的正弦值．

8 . 如图，在三棱锥中，平面平面，为等腰直角三角形，其中，为中点．

(1)证明：平面平面；
(2)已知，二面角的大小为，求三棱锥的体积．

9 . 如图，在以，，，，为顶点的五面体中，四边形为等腰梯形，，，平面平面，．

(1)求证：；
(2)若，求二面角的余弦值．

10 . 如图所示，、分别为椭圆的左、右顶点，离心率为．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线、与椭圆交于、两点，证明直线过定点，并求面积的最大值．